可以要求商家退款，但能否成功退款需视具体情况而定。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从合同履行角度
   • 当你选择在商家处做双眼皮手术时，实际上与商家形成了一个服务合同关系。商家有义务按照约定为你提供符合质量标准的双眼皮手术服务，同时也有义务提供与该服务相关的合法发票。发票是交易的重要凭证，也是商家履行纳税义务的体现。
   • 如果商家未提供发票，这可能构成合同履行过程中的瑕疵。你可以以此为由与商家协商退款事宜，要求商家承担违约责任。不过，商家可能会以各种理由拒绝退款，比如声称发票丢失、正在补办等。此时，你需要进一步收集证据，证明商家确实存在未提供发票且可能存在其他违约行为（如手术效果不佳等），以增加退款的成功率。
2. 从消费者权益保护角度
   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的规定，消费者享有公平交易的权利，有权获得质量保障、价格合理、计量正确的商品或者服务，有权要求经营者提供商品的价格、产地、生产者、用途、性能、规格、等级、主要成份、生产日期、有效期限、检验合格证明、使用方法说明书、售后服务，或者服务的内容、规格、费用等有关情况。同时，经营者提供商品或者服务，应当按照国家有关规定或者商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或者服务单据。
   • 商家未提供发票的行为违反了上述法律规定，侵犯了你的合法权益。你可以向消费者协会或者有关行政部门投诉，要求他们介入调解，促使商家退款。在投诉时，你需要提供相关的证据，如与商家的沟通记录、手术合同、付款凭证等，以证明你的主张。
3. 从税务管理角度
   • 从税务管理的层面来看，商家开具发票是其应尽的纳税义务。如果商家未开具发票，可能存在偷逃税款的嫌疑。你可以向当地税务机关举报商家的违法行为，税务机关会对商家进行调查和处理。在举报过程中，你同样需要提供相关的证据，协助税务机关查明事实。虽然税务机关的处理主要是针对商家，但这也可能会对商家产生一定的压力，促使他们与你协商解决退款问题。

建议：你可以先与商家进行友好协商，明确指出商家未提供发票的行为违反了合同约定和法律规定，要求商家退款。如果协商无果，你可以收集好相关证据，向消费者协会、有关行政部门或者税务机关进行投诉和举报。在整个过程中，要注意保留好所有的证据，以便在需要时维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，随时都可以问我。