针对您提出的“理发店商家充值不开发票，我是否可以要求退款”的问题，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确发票的法律意义与商家的义务。发票不仅是消费者购买商品或服务的直接证据，也是享受售后服务、进行退换货的重要依据，同时还是税收管理的重要凭证。根据相关法律法规，商家在销售商品或提供服务时，必须向消费者开具发票。如果商家拒绝开具，将违反法律法规，并可能受到税务部门的处罚。

接下来，我们分析您能否要求退款的情况：

1. 通常情况：

   • 如果理发店已经按照约定提供了服务（即为您理发），仅因未开具发票，这并不直接构成您要求退款的法定理由。在这种情况下，您应首先与商家沟通，要求其补开发票。若商家拒绝，您可以向税务部门投诉，以维护自己的合法权益。

2. 特殊情形：

   • 影响合同目的实现：如果您在充值时与商家明确约定了开具发票是充值合同的重要组成部分或前提条件，且因商家未开票导致您无法享受相应的售后服务或权益，从而影响了合同目的的实现，那么您有权要求退款。
   • 存在欺诈等严重问题：若商家通过不开发票来掩盖欺诈行为（如虚假宣传、提供劣质服务等），且您能掌握充分证据证明这一点，那么您可以欺诈为由要求退款。

在申请退款的过程中，我建议您采取以下步骤：

1. 与商家协商：首先尝试与商家沟通，表达您的退款意愿，并尝试达成退款协议。在沟通过程中，请保留好相关证据，如聊天记录、支付记录等，以备后续纠纷时使用。

2. 寻求第三方帮助：

   • 若商家拒绝退款，您可以向消费者协会或相关行政机关投诉，请求协助解决纠纷。
   • 同时，您也可以向税务机关举报商家未开具发票的行为，税务机关会责令商家限期改正并可能处以罚款。

3. 法律途径：

   • 在必要时，您可以选择通过法律途径解决纠纷，向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在此过程中，请确保提供充分的证据证明自己的主张。

综上所述，商家不开发票时，您能否要求退款需根据具体情况判断。在通常情况下，仅因未开具发票并不能直接要求退款；但在特定情形下（如影响合同目的实现、存在欺诈等），您有权要求退款。在申请退款过程中，请保留好相关证据，积极与商家协商或寻求第三方及法律途径的帮助，以维护自己的合法权益。