结论：员工在公司工作5年8个月后被辞退，赔偿问题需根据辞退的具体原因和性质来确定，主要包括经济补偿金和赔偿金两种情况。
一、经济补偿金
合法辞退情况下的经济补偿金：
- 如果公司因员工不能胜任工作、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化等原因，在提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，合法辞退员工，那么公司需要支付经济补偿金。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资。其中，工作年限满六个月不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 具体数额：对于5年8个月的工作年限，经济补偿金应为6个月（5年按5个月计算，8个月按1个月计算，因为满6个月不满1年按1年算）的月工资。
经济补偿金的支付标准：
- 如果员工的月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
二、赔偿金
违法辞退情况下的赔偿金：
- 如果公司违法辞退员工，如未提前通知、未支付经济补偿金、辞退理由不合法等，员工有权要求公司支付赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2。
- 具体数额：在上述经济补偿金的基础上，赔偿金应为经济补偿金的两倍，即12个月的月工资。
赔偿金的支付条件：
- 赔偿金支付的前提是公司的辞退行为被认定为违法。这通常需要通过劳动仲裁或法院诉讼来确认。
三、其他注意事项
证据收集：
- 员工在面临辞退时，应尽可能收集相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知、工作记录等，以证明自己的工作年限、工资水平以及公司的辞退行为。
劳动仲裁或诉讼：
- 如果员工与公司就赔偿问题无法达成一致，可以通过劳动仲裁或法院诉讼来解决争议。在仲裁或诉讼过程中，员工需要提供充分的证据来支持自己的主张。
法律咨询：
- 由于劳动纠纷涉及复杂的法律问题，建议员工在面临辞退时及时咨询专业律师，以了解自己的权益和可能的赔偿数额。
举例说明：假设员工的月工资为10000元，且未超过当地职工月平均工资的三倍，那么在公司合法辞退的情况下，员工应获得的经济补偿金为60000元（6个月 × 10000元/月）；如果公司违法辞退员工，则员工应获得的赔偿金为120000元（60000元 × 2）。
建议：面对公司辞退的情况，员工应首先了解自己的权益和可能的赔偿数额，然后与公司进行协商。如果协商无果，可以通过劳动仲裁或法院诉讼来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。