对于您提出的一个员工在公司工作五年8个月后被辞退的赔偿问题，我们可以根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定以及常见的劳动法律实践，为您提供以下详细解答：
一、合法辞退的赔偿情况
协商一致解除劳动合同：
- 如果公司与员工双方达成一致，同意解除劳动合同，那么赔偿金额可以由双方协商确定，并在协议中明确。
经济性裁员、公司破产或其他法定情形：
- 根据法律规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限来计算，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。对于工作五年8个月的员工，应支付接近6个月工资的经济补偿金（因为六个月以上不满一年的，按一年计算）。
无过失性辞退：
- 如果员工因不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任，或者因劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行，并且双方未能就变更合同内容达成协议，公司提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并按照上述标准支付经济补偿金。
二、违法辞退的赔偿情况
- 如果公司没有合法理由而辞退员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，公司需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于工作五年8个月的员工，赔偿金应为接近12个月工资（6个月的经济补偿金的两倍）。
三、其他可能的补偿或赔偿
代通知金：
- 如果公司未提前三十日书面通知员工解除劳动合同，可能需要支付一个月的代通知金。
未休年假的工资报酬：
- 如果员工在被辞退前还有未休的带薪年假，公司应支付相应的工资报酬。
社保与公积金补缴：
- 如果公司在劳动关系存续期间未依法为员工缴纳社保或公积金，员工有权要求公司补缴。
四、申请赔偿的流程
收集证据：包括劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明劳动关系、工作年限及工资待遇。
书写劳动仲裁申请书：明确仲裁请求，如要求支付违法辞退的赔偿金，并详细阐述事实与理由。
提交申请：将申请书及相关材料提交至有管辖权的劳动仲裁委员会。
参与庭审：按照仲裁委的安排参与庭审，陈述事实、出示证据。
等待裁决并考虑后续行动：如果对裁决结果不服，可以在规定期限内向法院提起诉讼。
综上所述，工作五年8个月被辞退的赔偿情况取决于辞退的合法性及具体原因。劳动者应了解自己的权益，并在必要时通过法律途径来维护自己的合法权益。