结论：根据您描述的情况，在符合一定条件下，您确实有权要求与公司重签无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十四条：
- 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。
- 用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
- （一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
- …（其他情形略）
二、具体分析
连续工作满十年：
- 您提到在公司入职第九年时签订了五年的合同，这意味着在您签订这份五年合同之前，您已经在公司连续工作了九年。当这份五年合同履行完毕后，您将满足“连续工作满十年”的条件。
要求重签无固定期限劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第十四条的规定，当您在公司连续工作满十年时，您有权提出或者同意续订、订立无固定期限劳动合同。除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则公司应当与您订立无固定期限劳动合同。
实际操作建议：
- 在五年合同即将到期前，您可以与公司沟通，表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
- 如果公司拒绝或未给予明确答复，您可以准备相关证据（如工作证明、合同等），向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司与您签订无固定期限劳动合同。
三、注意事项
证据保留：
- 在整个过程中，务必保留好与公司的沟通记录、工作证明、合同等相关证据，以备不时之需。
法律程序：
- 如果与公司协商无果，申请劳动仲裁是维护您合法权益的有效途径。在申请劳动仲裁前，建议您先了解当地的劳动仲裁流程和所需材料，以便更好地准备和应对。
专业咨询：
- 劳动法律问题可能涉及复杂的法律条款和程序，如果您在处理过程中遇到任何疑问或困难，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
总结：您在公司连续工作满十年后，有权要求与公司重签无固定期限劳动合同。如果公司拒绝或未给予明确答复，您可以通过法律途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。