结论：妹妹一般不能直接打官司告嫂子，但在特定情况下，妹妹可以基于相关法律规定，通过合法途径维护哥哥的权益，具体分析如下：
一、妹妹直接起诉嫂子的法律障碍
在婚姻家庭关系中，配偶之间有相互扶养的义务。根据《中华人民共和国民法典》第一千零五十九条：“夫妻有相互扶养的义务。需要扶养的一方，在另一方不履行扶养义务时，有要求其给付扶养费的权利。”这一规定明确了夫妻之间的扶养义务，但并未直接赋予其他家庭成员（如妹妹）直接起诉配偶（如嫂子）不履行扶养义务的权利。因此，妹妹一般不能直接以自己的名义起诉嫂子不履行扶养义务。
二、妹妹可以采取的合法途径
协助哥哥行使权利：
- 如果哥哥因病无法自行行使权利，妹妹可以协助哥哥向嫂子提出扶养要求，或者协助哥哥收集证据，准备通过法律途径维护自己的权益。
- 在极端情况下，如果哥哥已经丧失民事行为能力，妹妹作为近亲属，可以依法向法院申请宣告哥哥为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，并指定自己或其他合适的人作为哥哥的监护人。作为监护人，妹妹将有权代表哥哥行使权利，包括起诉嫂子不履行扶养义务。
向相关部门反映情况：
- 妹妹可以向当地的居民委员会、村民委员会或者嫂子所在单位反映情况，寻求他们的帮助和调解。这些组织或单位在了解情况后，可能会介入调解，促使嫂子履行扶养义务。
提起刑事自诉（极端情况）：
- 在极端情况下，如果嫂子的行为构成遗弃罪（即对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为），妹妹可以代表哥哥向法院提起刑事自诉。但这种情况需要满足严格的法律条件，且通常需要哥哥本人或其法定代理人的同意。
三、实际操作中的建议
- 收集证据：妹妹应协助哥哥收集能够证明嫂子不履行扶养义务的证据，如医疗记录、证人证言、照片或视频等。
- 咨询专业律师：在采取任何法律行动之前，妹妹应咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
- 保持冷静和理性：在处理这类家庭纠纷时，保持冷静和理性至关重要。妹妹应尽量避免与嫂子发生直接冲突，而是通过合法途径解决问题。
最后，妹妹在面对哥哥因病无法自理而嫂子不管不问的情况时，虽然不能直接以自己的名义起诉嫂子，但可以通过协助哥哥行使权利、向相关部门反映情况或提起刑事自诉（极端情况）等合法途径来维护哥哥的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。