结论：公司已经打款但对方迟迟不开票，公司有权根据具体情况选择索要退款或要求对方开具发票，但能否成功索要退款需视合同约定、交易习惯及实际履行情况等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、合同约定角度
若合同明确约定了开票时间及违约责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第五百零九条：“当事人应当按照约定全面履行自己的义务。”若合同中明确约定了对方应在收到款项后的一定期限内开具发票，且约定了未按时开票的违约责任（如支付违约金、解除合同等），则公司有权依据合同约定，要求对方承担违约责任，包括但不限于索要退款（若合同明确约定此情形下可退款）或要求对方立即开具发票并支付违约金。
- 建议：公司应首先审查合同条款，确认是否存在相关约定，并据此向对方发出书面通知，要求其履行开票义务或承担违约责任。
若合同未明确约定开票时间及违约责任：
- 根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条：“销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。”对方作为收款方，有义务在收到款项后开具发票，但法律未明确规定具体开票时间。
- 建议：公司可与对方协商，要求其尽快开具发票。若协商无果，公司可考虑通过法律途径解决，但此时索要退款可能缺乏直接合同依据，需结合其他因素综合判断。
二、交易习惯角度
- 若双方在长期交易中形成了固定的开票习惯（如每月初开票、收到款项后一定工作日内开票等），且该习惯未违反法律法规强制性规定，则可视为双方之间的交易习惯，对双方具有约束力。
- 建议：公司可收集相关证据（如以往交易中的开票记录、沟通记录等），证明双方存在此类交易习惯，并据此要求对方按照习惯履行开票义务。若对方仍不履行，公司可考虑通过法律途径维护自身权益。
三、实际履行情况角度
若对方已部分履行合同义务：
- 如对方已按照合同约定提供了部分商品或服务，但未开具发票，此时公司索要退款可能面临一定困难，因为退款通常意味着合同解除或撤销，而对方已部分履行合同义务的情况下，合同解除或撤销可能不符合双方利益。
- 建议：公司可要求对方就未开票部分开具发票，并就已履行部分进行结算。若对方拒绝，公司可考虑通过法律途径要求其履行开票义务或赔偿损失。
若对方完全未履行合同义务：
- 如对方在收到款项后，既未提供商品或服务，也未开具发票，此时公司有权要求对方退款，并可依据《中华人民共和国民法典》第五百六十三条（合同解除）及第五百七十七条（违约责任）等规定，要求对方承担违约责任。
- 建议：公司应立即向对方发出书面通知，要求其退款并承担违约责任。若对方拒绝，公司可及时向法院提起诉讼或申请仲裁，以维护自身权益。
四、法律后果及风险提示
- 若公司选择索要退款：需注意退款可能涉及合同解除或撤销的问题，需确保符合法定解除或撤销条件，否则可能面临对方主张继续履行合同或赔偿损失的风险。
- 若公司选择要求对方开具发票：需注意发票的开具需符合税法规定，如对方拒绝开具或开具不合规发票，公司可向税务机关举报或寻求法律帮助。
总结与建议：公司已打款但对方迟迟不开票的情况下，能否索要退款需视合同约定、交易习惯及实际履行情况等因素综合判断。建议公司首先审查合同条款、收集相关证据，并与对方协商解决。若协商无果，可及时咨询专业律师（即我本人），通过法律途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步帮助，请随时向我咨询。