外卖员刮碰路边车后离开现场，可能面临以下法律后果，具体需结合事故情节和责任划分来分析：

一、民事赔偿责任

1. 赔偿义务：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十三条，机动车发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内赔偿；不足部分，由商业三者险赔偿；仍有不足的，由侵权人（即外卖员）赔偿。
   • 若外卖员负全责或部分责任，需赔偿车辆维修费用、停运损失（如车辆为营运车辆）等实际损失。即使车辆损失轻微，外卖员也有义务联系车主协商赔偿，擅自离开可能被认定为逃逸，加重赔偿责任。

2. 保险理赔影响：

   • 若外卖员驾驶的车辆投保了交强险和商业三者险，保险公司通常会在责任范围内赔偿。但逃逸行为可能导致保险公司拒赔，尤其是商业三者险部分，最终赔偿义务可能完全由外卖员承担。

二、行政处罚风险

1. 交通肇事逃逸的认定：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处200元以上2000元以下罚款，并可并处15日以下拘留。
   • 关键点：即使事故轻微（如仅刮擦），只要外卖员明知发生事故却未停车处理、未报警或未留下联系方式，均可能被认定为逃逸。

2. 驾驶证处罚：

   • 逃逸行为可能导致驾驶证被扣12分，甚至吊销驾驶证（如情节严重）。

三、刑事责任可能性（极端情况）

1. 构成交通肇事罪的条件：

   • 若事故造成一人以上重伤或重大财产损失（通常指30万元以上），且外卖员负主要或全部责任，同时存在逃逸行为，可能构成《中华人民共和国刑法》第一百三十三条规定的交通肇事罪。
   • 量刑：一般处3年以下有期徒刑或拘役；逃逸致人死亡的，处7年以上有期徒刑。

2. 实务中的常见情形：

   • 单纯刮擦车辆未造成人员伤亡或重大财产损失的，通常不涉及刑事责任，但需承担民事和行政责任。

四、实务建议

1. 立即处理事故：

   • 发生刮擦后，应立即停车查看损失，联系车主协商赔偿或报警处理。若车主不在现场，可留下联系方式并拍照取证。

2. 避免逃逸认定：

   • 切勿因担心迟到或怕麻烦而离开现场，否则可能从“轻微事故”升级为“逃逸”，面临更严厉处罚。

3. 保留证据：

   • 保存行车记录仪视频、现场照片、证人联系方式等，以证明事故责任和自身无逃逸故意。

4. 及时咨询律师：

   • 若已因逃逸被处罚或面临诉讼，可向我咨询具体应对策略，例如如何争取减轻处罚或协商赔偿。

总结：外卖员刮碰车辆后离开，轻则面临民事赔偿和行政处罚，重则可能涉及刑事责任。建议务必停车处理，避免因小失大。如有进一步疑问，可直接向我咨询。