母亲改嫁后，子女并不能直接通过法律被继父收养，这需要满足一定的法律条件并遵循法定程序。以下是对这一问题的详细分析：

一、收养关系的成立条件

根据《中华人民共和国民法典》中关于收养的规定，收养关系的成立需要满足以下条件：

1. 被收养人的条件：
   • 丧失父母的孤儿；
   • 查找不到生父母的未成年人；
   • 生父母有特殊困难无力抚养的子女。

在母亲改嫁的情况下，子女通常并不属于上述情形中的孤儿或查找不到生父母的未成年人，也不一定属于生父母有特殊困难无力抚养的子女（除非生父确实存在特殊困难且无法抚养）。

1. 收养人的条件：
   • 无子女或者只有一名子女；
   • 有抚养、教育和保护被收养人的能力；
   • 未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；
   • 无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；
   • 年满三十周岁。

继父作为收养人，需要满足上述条件。

1. 送养人的条件：
   • 孤儿的监护人；
   • 儿童福利机构；
   • 有特殊困难无力抚养子女的生父母。

在母亲改嫁的情况下，如果生父仍然健在且有能力抚养子女，那么生父通常不会成为送养人。如果生父确实存在特殊困难且无法抚养子女，且生父和母亲（作为共同送养人）同意将子女送养给继父，那么这才可能构成送养的条件。

二、收养关系的成立程序

即使满足了上述条件，收养关系的成立还需要遵循法定程序：

1. 收养登记：收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。
2. 收养协议与公证：收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。但需要注意的是，公证并非收养关系成立的必要条件。

三、特殊情况下的考虑

在母亲改嫁的情况下，如果继父与子女之间已经形成了事实上的抚养关系，并且这种关系得到了生父的认可（或者生父确实无法履行抚养义务），那么在实际操作中，可能会存在一定的灵活性。然而，这并不意味着可以直接通过法律程序确立收养关系，而仍然需要满足上述的法律条件和程序。

四、建议与注意事项

1. 咨询专业律师：由于收养关系涉及复杂的法律程序和条件，建议在考虑收养前咨询专业律师，以确保所有步骤都符合法律规定。
2. 考虑子女的意愿：在收养过程中，应充分考虑子女的意愿和感受，确保收养行为符合子女的最佳利益。
3. 维护家庭关系：收养行为可能会对家庭关系产生深远影响，因此在做出决定前应谨慎考虑，并努力维护家庭关系的和谐与稳定。

总结来说，母亲改嫁后子女并不能直接通过法律被继父收养，而是需要满足一定的法律条件并遵循法定程序。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。