核心结论：根据您描述的情况，您可能涉及“连续订立二次以上固定期限劳动合同后终止”的赔偿问题，具体赔偿方式需分情况讨论。以下是详细分析：

1. 若用人单位合法终止合同（符合法定情形）

根据《劳动合同法》第14条、第46条，若您与用人单位已连续订立两次以上固定期限劳动合同（即您提到的“四期合同”），且您不存在《劳动合同法》第39条（如严重违纪）、第40条第1、2项（如医疗期满不能工作、不能胜任工作经培训或调岗仍不能胜任）的法定解除情形，用人单位在第五次合同到期时终止劳动合同的，属于违法终止，需支付赔偿金。
赔偿标准：按您在本单位工作的年限，每满1年支付2个月工资（即“2N”）。例如，您工作5年，则赔偿金为10个月工资。
关键点：需证明“连续订立两次以上固定期限合同”的事实（如合同文本、社保记录等）。

2. 若用人单位违法终止合同（不符合法定情形）

若用人单位以“合同到期不续签”为由终止，但您符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满10年、或连续订立两次固定期限合同后提出续签无固定期限合同），则用人单位的行为属于违法终止。
赔偿标准：除支付上述“2N”赔偿金外，您还可主张用人单位继续履行合同（即恢复劳动关系）。若选择不继续履行，则赔偿金按“2N”计算。
关键点：需在仲裁或诉讼中明确主张“违法终止”，并提交证据证明您符合签订无固定期限合同的条件（如工作年限证明、合同续签记录等）。

3. 若您主动不续签或存在法定解除情形

若您在第五次合同到期时主动表示不续签，或存在《劳动合同法》第39条、第40条第1、2项的法定解除情形（如严重违纪、医疗期满不能工作等），则用人单位终止合同无需支付赔偿金，但需支付经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资，即“N”）。
例外情形：若用人单位维持或提高原劳动合同条件续签，而您拒绝续签的，用人单位无需支付经济补偿金。

行动建议

1. 收集证据：整理所有劳动合同、工资流水、社保记录、终止通知等材料，证明劳动关系存续期间及终止事实。
   
2. 协商或投诉：先与用人单位协商赔偿事宜；若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁。
   
3. 主张权益：在仲裁或诉讼中明确诉求（如赔偿金、继续履行合同等），并引用《劳动合同法》第14条、第46条、第48条、第87条等条款支持主张。
   

温馨提示：劳动争议案件时效为1年（自知道或应当知道权利被侵害之日起计算），建议尽快处理。若需进一步分析具体证据或计算赔偿金额，可随时向我咨询。