结论：厂长招工没签合同后开除员工是否合法，需分情况讨论，一般情况下不合法，但若存在法定解除情形则可能合法。

分析如下：

1. 未签订劳动合同的情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未签订，用人单位需承担相应法律责任，如向劳动者支付双倍工资等。
   • 未签合同本身不直接导致开除合法：即使未签订劳动合同，厂长也不能随意开除员工。开除员工需有合法依据，否则可能构成违法解除劳动合同。

2. 开除员工的合法性：

   • 一般情况：若厂长无正当理由开除员工，如因个人喜好、偏见或无合法理由的裁员，则构成违法解除劳动合同。员工有权要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。
   • 法定解除情形：若员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定解除情形，厂长则有权依法开除员工，且无需支付赔偿金。但在此情况下，厂长仍需承担未签订劳动合同的法律责任。

3. 具体建议：

   • 对于员工：若被厂长无理由开除，且未签订劳动合同，可收集相关证据（如工作证、工资条、同事证言等）证明劳动关系存在及被开除的事实，然后向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付未签合同的双倍工资及违法解除劳动合同的赔偿金。
   • 对于厂长/用人单位：应尽快与员工补签劳动合同，以规避法律风险。若需开除员工，应确保有合法依据，并按照法定程序进行，如提前通知、支付经济补偿等。

举例说明：

• 假设员工A在厂长B的工厂工作，但未签订劳动合同。后因厂长B个人原因，无理由开除了员工A。在此情况下，员工A有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求厂长B支付未签合同的双倍工资及违法解除劳动合同的赔偿金。
• 假设员工C在厂长D的工厂工作，同样未签订劳动合同。但员工C因严重违反工厂规章制度被厂长D开除。在此情况下，厂长D虽需承担未签订劳动合同的法律责任，但开除员工C的行为本身可能合法（需具体审查规章制度及开除程序是否合法）。

后续行动建议：

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