结论：公司要开除员工但没签离职协议，这一行为是否合法需分情况讨论，不能一概而论。
若公司合法解除劳动合同：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在符合法定情形下（如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等），可以解除劳动合同。在这种情况下，即使没有签订离职协议，公司的解除行为也可能是合法的。但公司需要承担举证责任，证明其解除劳动合同的合法性，比如提供员工违规的证据、公司规章制度的制定及公示程序等。
- 举例：如果员工因盗窃公司财物被公安机关立案侦查，公司依据内部规章制度（该制度已向员工公示并经过民主程序制定）解除与该员工的劳动合同，即使没有签订离职协议，这一解除行为也是合法的。
若公司违法解除劳动合同：
- 如果公司解除劳动合同的行为不符合法定情形，或者没有遵循法定程序（如未提前通知员工、未支付经济补偿等），那么即使没有签订离职协议，公司的解除行为也是违法的。
- 法律后果：根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 举例：如果公司仅因员工与同事发生口角就解除劳动合同，且没有提供任何证据证明该口角对公司造成了重大影响或违反了公司规章制度，那么这一解除行为就是违法的。员工有权要求公司支付赔偿金。
关于离职协议：
- 离职协议是劳动者与用人单位就解除劳动合同相关事宜达成的一致意见，它并不是解除劳动合同的法定必要条件。即使没有签订离职协议，只要公司解除劳动合同的行为合法，那么解除行为就是有效的。
- 建议：然而，从实践角度来看，签订离职协议有助于明确双方的权利义务，避免后续纠纷。因此，建议公司在解除劳动合同时尽量与员工签订离职协议，对解除原因、经济补偿、保密义务等事项进行明确约定。
进一步思考：
- 如果您作为员工遇到公司违法解除劳动合同的情况，您可以先与公司协商要求支付赔偿金；如果协商不成，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 如果您作为公司方在解除劳动合同时存在疑虑或不确定是否合法，建议您在解除前咨询专业律师或法律顾问的意见，以确保解除行为的合法性并避免潜在的法律风险。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。