结论前置：工龄满10年的员工有权要求单位签订无固定期限劳动合同，单位拒绝签订属于违法行为，员工可通过多种合法途径维护自身权益。
法律规定与员工权利
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者在一家用人单位连续工作满十年时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这里的“无固定期限劳动合同”指的是合同没有明确的终止时间，但并不意味着合同不能解除，而是在符合法定条件或双方协商一致的情况下可以解除。
员工权利：
- 有权向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 如果用人单位拒绝签订，员工有权要求单位继续履行劳动关系，并承担相应的法律责任，如支付经济补偿金或赔偿金等。
单位责任与违法后果
单位责任：
- 在接到员工提出签订无固定期限劳动合同的要求后，单位应与员工进行协商，并在合理时间内给予答复。
- 如果无正当理由拒绝签订，单位可能面临支付经济补偿金、赔偿金等法律不利后果。具体来说，如果单位自应当订立无固定期限劳动合同之日起未与员工签订，员工有权要求单位支付自该日起的二倍工资。
员工应对策略
友好协商：
- 首先尝试与单位进行友好协商，明确告知单位自己符合签订无固定期限劳动合同的条件，并要求依法签订合同。这是最直接、最和平的解决方式。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门会对单位遵守劳动法律、法规的情况进行监督检查，并责令单位改正违法行为。这是一种有效的行政救济途径。
申请劳动仲裁：
- 员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，需要提供证明自己在单位连续工作满10年的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。如果仲裁认定单位存在违法行为，可能会裁决单位与员工签订无固定期限劳动合同，并要求单位支付相应的经济补偿或赔偿。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，员工可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。通过司法途径维护自己的合法权益，这是最后的法律救济手段。
注意事项
- 确保工龄连续：员工需要确保自己的工龄确实已经满了10年，并且这10年是在同一家用人单位连续工作的。如果中途有离职或间断，可能会影响无固定期限劳动合同的签订。
- 保留相关证据：员工应保留好所有相关的证据和文件，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以便在维权过程中使用。
- 了解当地政策：不同地区的具体规定可能会有所不同，员工需要了解当地的法律法规和政策，以便更好地维护自己的权益。
示例说明
假设小张在一家公司连续工作了10年，现在合同即将到期。小张有权向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求。如果公司拒绝签订，小张可以先尝试与公司进行友好协商；如果协商无果，小张可以向当地劳动监察部门投诉；如果投诉仍未解决问题，小张可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；如果对仲裁结果不满意，小张还可以向人民法院提起诉讼。
综上所述，工龄满10年的员工在要求签订无固定期限劳动合同时享有明确的法律权利。如果单位拒绝签订，员工可以通过协商、投诉、仲裁、诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。