公司裁员时，劳动者确实可以向劳动仲裁机构申请继续履行劳动合同，但能否得到支持需视具体情况而定。以下是从不同角度的详细分析：
一、申请继续履行劳动合同的前提条件
合同具有继续履行的可能性：
- 这意味着劳动合同所约定的工作岗位、工作内容等必须仍然存在，且从事实上和法律上均能够继续履行。例如，如果公司裁员后该岗位已被撤销或不再需要，那么继续履行劳动合同就变得不可能。
继续履行合同具有合理性：
- 从经济成本、实际操作等多方面考量，继续履行应是合理且可行的。如果继续履行合同所需成本远超合同本身价值，或者实际操作中存在极大困难（如公司经营状况严重恶化，无法承担继续履行合同的成本），仲裁机构可能不会支持继续履行的请求。
公司有能力继续履行：
- 公司需具备履行劳动合同所必需的人力、物力等条件。如果公司因裁员导致无法继续提供劳动合同约定的工作条件（如缺乏必要的设备、资金等），则继续履行的请求同样难以得到支持。
二、申请仲裁的程序与证据要求
- 提出申请：劳动者在向劳动仲裁机构提出申请时，需要提供充分的证据来证明公司确实存在违法裁员的行为，以及合同继续履行的合理性和可行性。这些证据可能包括劳动合同文本、裁员通知书、公司经营状况证明、岗位存在证明等。
- 证据提交：同时，劳动者还需证明公司具备继续履行的能力，如提交公司财务状况证明、设备清单等证据材料。
三、仲裁机构的裁决
- 裁决结果：劳动仲裁机构在受理申请后，将依据双方提交的证据、劳动合同约定以及相关法律规定，对是否支持继续履行劳动合同的请求进行公正、客观的裁决。裁决结果可能包括支持继续履行劳动合同、驳回申请或者提出其他解决方案（如支付经济补偿金等）。
四、实际操作中的注意事项与建议
- 及时咨询与准备：在决定是否申请劳动仲裁以及如何提出仲裁申请时，劳动者应及时咨询专业律师（即我，郑华律师，专注于刑事辩护、婚姻家庭、合同纠纷、民间借贷、离婚、工伤赔偿领域）的意见，以确保自己的权益得到充分保护。
- 保留证据：劳动者应保留好与裁员相关的所有证据，包括裁员通知书、与公司的沟通记录、工作记录等，以备后续可能的争议处理。
- 考虑实际情况：在申请继续履行劳动合同时，劳动者也应考虑公司的实际情况和自身的职业规划。如果公司确实无法继续履行合同，或者继续履行合同对劳动者来说并不有利，那么劳动者也可以考虑接受其他解决方案，如经济补偿金等。
举例说明：假设小张是某公司的员工，公司因经营不善决定裁员，并给小张发出了裁员通知书。小张认为公司裁员行为违法，且希望继续留在公司工作。在这种情况下，小张可以向劳动仲裁机构申请继续履行劳动合同，并提供相关证据证明公司裁员行为违法、合同具有继续履行的可能性和合理性以及公司具备继续履行的能力。劳动仲裁机构将根据双方提交的证据和法律规定进行裁决。
总结与建议：公司裁员时，劳动者有权向劳动仲裁机构申请继续履行劳动合同，但能否得到支持需视具体情况而定。在申请过程中，劳动者应提供充分的证据来支持自己的请求，并考虑公司的实际情况和自身的职业规划。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。