公司要求员工在原劳动合同到期后续签时与第三方公司签合同，这一行为是否涉嫌违法，需分情况讨论：
若公司未经员工同意，单方面强制要求与第三方签约：
- 涉嫌违法。根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同的订立和变更应当遵循平等自愿、协商一致的原则。公司未经员工同意，单方面改变劳动合同主体，即要求员工与第三方公司签订合同，违反了这一原则，侵犯了员工的合法权益。
- 员工权益：员工有权拒绝公司的要求，并可以要求公司继续履行原劳动合同或支付经济补偿。经济补偿的标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。若公司拒绝，员工可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不满意时，还可向人民法院提起诉讼。
若公司与员工协商一致，员工同意与第三方签约：
- 不涉嫌违法。在双方协商一致的情况下，员工同意与第三方公司签订合同，这是合法的行为。但需要注意的是，员工应仔细审查新合同的条款，确保自己的权益不受损害，如工资待遇、工作年限、福利待遇等应与原合同相当或更好。
- 特别关注：员工应关注工龄的连续计算问题。如果新合同导致工龄中断，可能会影响员工的经济补偿、年假等权益。因此，在签订新合同前，员工应与公司明确工龄的连续计算方式，并在合同中予以体现。
公司要求签订第三方合同的可能目的和影响：
- 目的：公司可能旨在转移用工风险、降低人力成本或进行业务重组等。但无论出于何种目的，公司都不能侵犯员工的合法权益。
- 影响：对员工而言，与第三方公司签订合同意味着劳动关系主体的变化，可能影响工龄计算、福利待遇和职业发展。因此，员工在决定是否接受与第三方签约前，应全面评估这一变更对自己权益的具体影响。
建议：
- 仔细审查合同：员工在面对此类情况时，应仔细审查原劳动合同和新合同的条款，确保自己的权益不受损害。
- 积极沟通协商：员工应与公司进行积极沟通协商，表达自己的疑虑和诉求，争取合理的权益保障。
- 收集证据：若与公司协商无果，员工应收集相关证据，如原劳动合同、工资条、工作证等，以证明劳动关系及公司要求变更用工主体的事实。
- 寻求法律帮助：在整个过程中，员工应保持冷静、理性思考，并在必要时向我咨询具体的法律建议和帮助。
总之，公司要求员工在原劳动合同到期后续签时与第三方公司签合同，是否涉嫌违法取决于是否经过员工同意。员工应仔细审查合同条款、积极沟通协商，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。