结论：体校外聘教练在解除劳动关系且未获赔偿的情况下，若符合法定条件，是可以申请劳动仲裁要求赔偿的。 以下从不同角度为你详细分析：
一、劳动关系认定是关键前提
- 若存在事实劳动关系：
- 即使体校与外聘教练未签订书面劳动合同，但只要教练实际为体校提供了劳动，接受体校的管理，体校向教练支付劳动报酬，双方就形成了事实劳动关系。例如，教练按照体校的课程安排进行授课，遵守体校的考勤制度，体校按月支付教练工资等。在这种情况下，体校解除劳动关系且未给予赔偿，教练有权申请劳动仲裁要求赔偿。
- 根据《劳动合同法》规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。如果体校一直未与教练签订书面劳动合同，教练在申请劳动仲裁时，除了可以要求解除劳动关系的赔偿外，还可以要求体校支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。
- 若不存在劳动关系，而是劳务关系：
- 如果教练与体校之间是劳务关系，比如教练只是偶尔为体校提供一次性的授课服务，双方按照约定完成工作并支付报酬，不存在管理与被管理的关系，那么就不适用劳动法律法规。此时，教练不能申请劳动仲裁要求赔偿，但可以根据双方签订的劳务合同，通过民事诉讼的方式要求体校按照合同约定支付报酬或承担违约责任。
二、解除劳动关系的合法性影响赔偿
- 体校合法解除劳动关系：
- 如果体校解除与教练的劳动关系是基于法定事由，如教练严重违反体校的规章制度、严重失职给体校造成重大损害等，且体校能够提供充分的证据证明解除行为的合法性，那么体校可能无需支付赔偿。但体校需要按照法律规定向教练支付经济补偿（如果符合支付经济补偿的情形）。经济补偿的计算公式为：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。例如，教练在体校工作了2年3个月，月工资为5000元，那么体校应支付的经济补偿为\(2.5×5000 = 12500\)元。
- 体校违法解除劳动关系：
- 若体校无法定事由解除与教练的劳动关系，或者解除劳动关系的程序不合法，如未提前通知教练等，那么体校属于违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。以前面的例子为例，如果体校违法解除与教练的劳动关系，那么体校应支付的赔偿金为\(12500×2 = 25000\)元。
三、申请劳动仲裁的流程和注意事项
- 申请流程：
- 提交申请书：教练需要向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请书，并按照被申请人人数提交副本。申请书应当载明劳动者的基本信息、用人单位的基本信息、仲裁请求和所根据的事实、理由、证据和证据来源、证人姓名和住所等。
- 受理：劳动争议仲裁委员会收到仲裁申请之日起五日内，认为符合受理条件的，应当受理，并通知申请人；认为不符合受理条件的，应当书面通知申请人不予受理，并说明理由。
- 开庭审理：仲裁庭在开庭五日前，将开庭日期、地点书面通知双方当事人。无正当理由拒不到庭或者未经仲裁庭同意中途退庭的，对申请人按照撤诉处理，对被申请人可以做缺席裁决。
- 裁决：仲裁庭裁决劳动争议案件，应当自劳动争议仲裁委员会受理仲裁申请之日起四十五日内结束。案情复杂需要延期的，经劳动争议仲裁委员会主任批准，可以延期并书面通知当事人，但是延长期限不得超过十五日。逾期未作出仲裁裁决的，当事人可以就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
- 注意事项：
- 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。所以教练要在规定的时效内申请劳动仲裁，否则可能会丧失胜诉权。
- 证据收集：教练在申请劳动仲裁前，要尽可能收集与劳动关系、解除劳动关系、工资待遇等相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、解除劳动关系通知书等，以支持自己的仲裁请求。
如果你还有其他关于劳动仲裁的问题，或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。