结论：体校外聘的教练没有合同，但有事实证明劳动关系已解除的，在符合一定条件下可以申请劳动仲裁要求赔偿。以下从不同角度进行分析：
一、劳动关系认定
事实劳动关系：
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：
- 用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
- 用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
- 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
- 在您的情况下，如果体校作为用人单位，教练受其管理、从事其安排的教学工作并获取报酬，即使没有书面合同，也可能被认定为存在事实劳动关系。
证据收集：
- 为了证明事实劳动关系的存在，您可以收集以下证据：
- 工作证、服务证等能够证明身份的证件；
- 招聘“登记表”“报名表”等招用记录；
- 考勤记录；
- 其他劳动者的证言；
- 工资支付记录或转账记录；
- 工作邮件、微信聊天记录等能够证明工作关系的电子数据。
二、劳动仲裁申请条件
仲裁时效：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 如果您认为体校违法解除了劳动关系，应在知道或应当知道之日起一年内申请劳动仲裁。
赔偿请求：
- 如果体校违法解除了劳动关系，您有权要求体校支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据您在体校的工作年限和月工资标准。
- 具体来说，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
三、实际操作建议
收集证据：
- 尽快收集能够证明事实劳动关系和体校违法解除劳动关系的证据。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但为保持回答完整性保留，实际回答中可侧重于“向我咨询”）：
- 在申请劳动仲裁前，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和赔偿计算方式。
提交仲裁申请：
- 准备好仲裁申请书和相关证据后，向体校所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请。
进一步思考：在申请劳动仲裁的过程中，证据的充分性和合法性至关重要。因此，建议您在收集证据时务必注意证据的来源和真实性，避免使用非法手段获取证据。同时，如果您对劳动仲裁程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。