结论：被裁员且未获得应有赔偿的劳动者，完全有权在法定时效期内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付赔偿金。如果仲裁裁决后用人单位仍不履行支付义务，劳动者可进一步向人民法院申请强制执行。

详细分析：

1. 仲裁申请的合法性：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条第五项的规定，因经济补偿或者赔偿金等发生的争议属于劳动仲裁的受理范围。因此，当用人单位裁员却不支付赔偿时，这明确属于劳动仲裁的管辖范畴，劳动者有权申请仲裁。

2. 仲裁申请的时效性：

   • 同样依据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自劳动者知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。若劳动关系终止，则自劳动关系终止之日起一年内提出。这确保了劳动者有足够的时间来准备和提交仲裁申请。

3. 仲裁申请所需材料：

   • 仲裁申请书：需详细说明仲裁请求、事实和理由，包括被裁员的经过及为何认为应获赔偿。
   • 证据材料：劳动合同、工资支付记录（如银行流水、工资条）、裁员相关证据（如裁员通知、聊天记录、会议纪要等）以及劳动者身份证明和用人单位工商登记信息。这些材料对于证明劳动关系的存在、裁员事实以及计算赔偿金额至关重要。

4. 仲裁流程：

   • 申请：向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交材料。
   • 受理：仲裁委员会将在五日内决定是否受理，并通知申请人。
   • 审理：开庭前五日通知双方，开庭时进行举证、质证和审理。
   • 裁决：一般自受理之日起四十五日内结束，复杂案件可延期但不超过十五日。

5. 后续行动：

   • 如果对仲裁结果不满意，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 若仲裁委员会认定用人单位未支付赔偿金，将作出裁决要求其支付。用人单位不履行的，劳动者可向人民法院申请强制执行。

6. 用人单位的法律责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》，用人单位在裁员时应遵循法定程序，并按法定标准支付经济补偿。未依法支付的，劳动者有权通过仲裁和诉讼途径维护自己的合法权益。

实际建议：

• 准备充分：在申请仲裁前，确保收集并整理好所有相关证据材料，以便在仲裁过程中有力地支持自己的主张。
• 及时行动：注意仲裁申请的时效性，避免因超过时效而丧失维权机会。
• 寻求帮助：如果在仲裁过程中遇到困难或不确定如何操作，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。

总结：被裁员且未获得赔偿的劳动者，应充分利用法律武器保护自己的权益。通过准备充分的证据材料，按照法定流程申请劳动仲裁，并在必要时采取进一步的法律行动，以确保自己的合法权益得到实现。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。