结论：能否申请补偿需分情况讨论，主要取决于单位开除行为的合法性，具体分析如下：

1. 若单位规章制度明确禁止纹身且员工知晓，开除可能合法但需满足程序要求
   根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位规章制度的，单位可解除劳动合同。但需满足以下条件：

   • 制度合法性：规章制度需经民主程序制定（如职工代表大会讨论）并公示或告知员工；
     
   • 内容合理性：禁止纹身的规定需与工作性质相关（如涉及食品安全、客户服务形象等岗位），且无歧视性；
     
   • 程序合法性：单位需证明员工纹身行为违反制度，且解除前已履行通知工会等法定程序。
     若满足上述条件，单位开除可能合法，员工一般无法主张经济补偿；但若单位未履行程序或制度违法，员工可申请违法解除赔偿金（2N，N为工作年限，即12个月工资）。

2. 若单位无相关制度或制度未公示，开除行为可能违法
   若单位未在规章制度中明确禁止纹身，或未将制度告知员工，则解除劳动合同缺乏依据。根据《劳动合同法》第四十八条，员工可要求单位继续履行合同或支付赔偿金（2N，即24个月工资）。

3. 特殊情形：纹身是否影响工作本质
   即使单位无明确制度，若纹身导致员工无法履行核心职责（如特殊行业形象要求），单位可能以“不能胜任工作”为由解除合同。但需满足：

   • 提供证据证明纹身与工作冲突（如客户投诉、行业规范等）；
     
   • 提前对员工进行培训或调岗，仍无法解决后解除。
     此种情形下，单位需支付经济补偿（N，即12个月工资）；若未履行前置程序，仍可能构成违法解除。

建议行动步骤：

1. 核查单位规章制度中是否有关于纹身的规定，以及制定和公示程序；
   
2. 收集单位开除的书面通知、谈话记录等证据；
   
3. 若认为单位违法解除，可向劳动仲裁委申请仲裁，主张赔偿金或继续履行合同。
   

提示：劳动争议案件需结合具体证据和地方规定，如有进一步疑问，可直接向我咨询细节。