结论：在您描述的情况下，能否要求赔偿取决于多个因素，包括国企的规章制度、您与国企签订的劳动合同内容以及国企开除您的具体理由和程序是否合法等。以下是对此问题的详细分析：
一、国企规章制度与劳动合同
规章制度：国企通常会有自己的规章制度，这些规章制度可能包括对员工形象、行为等方面的要求。如果规章制度中明确规定了员工不得有纹身，或者纹身属于违反公司形象、行为规范的行为，并且这一规章制度是合法制定且已向您公示或告知的，那么国企可能基于这一规定对您进行处理。
劳动合同：您与国企签订的劳动合同中也可能包含对员工形象、行为等方面的要求。如果劳动合同中有相关条款，并且您违反了这些条款，国企同样可能依据劳动合同对您进行处理。
二、开除的合法性与赔偿
合法开除：如果国企的开除决定是基于合法的规章制度或劳动合同条款，并且开除程序合法（如提前通知、听取您的申辩等），那么国企的开除行为可能是合法的，您可能无法要求赔偿。
非法开除：如果国企的开除决定缺乏合法依据，或者开除程序违法（如未提前通知、未听取您的申辩等），那么国企的开除行为可能是非法的。在这种情况下，您有权要求国企支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据您在国企的工作年限、工资水平等因素确定。具体来说，根据《劳动合同法》的相关规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果国企非法解除劳动合同，您还可以要求支付双倍的经济补偿作为赔偿金。
三、建议与行动
审查规章制度与劳动合同：首先，建议您仔细审查国企的规章制度和您与国企签订的劳动合同，了解其中是否有关于员工形象、行为等方面的要求，以及这些要求是否合法、是否已向您公示或告知。
咨询专业意见：如果您对国企的开除决定有异议，或者不确定自己是否有权要求赔偿，建议您咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况，为您提供更详细、更准确的法律建议。
考虑劳动仲裁或诉讼：如果与国企协商无果，您可以考虑通过劳动仲裁或诉讼的方式维护自己的权益。在劳动仲裁或诉讼过程中，您需要提供相关证据证明国企的开除行为是非法的，以及您因此遭受的损失。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此以上分析仅供参考。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。