结论前置：单位要求员工书面提出签署无固定期限劳动合同，这一要求本身并不违法，但关键在于是否满足法定条件以及单位是否在符合条件时拒绝签订。下面我将从多个角度详细分析这一问题。
一、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。在以下情形下，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：劳动者在同一用人单位连续工作满十年的，有权要求签订无固定期限劳动合同。
特定改制情况：用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的，也有权要求签订无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同：连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反规章制度、失职等情形的，当第二次固定期限劳动合同期满时，劳动者提出续订的，用人单位应与其订立无固定期限劳动合同。
视为订立无固定期限劳动合同：用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为双方已订立无固定期限劳动合同。
二、单位要求书面提出签署无固定期限劳动合同的合法性
单位要求员工书面提出签署无固定期限劳动合同，这一要求本身并不违反法律规定。书面形式有助于明确双方的权利义务，减少争议。然而，关键在于单位是否在员工满足法定条件时，拒绝与其签订无固定期限劳动合同。如果员工满足上述任一条件，且提出签订无固定期限劳动合同的要求，单位无正当理由拒绝的，则可能构成违法。
三、员工应如何应对
确认自身条件：员工应首先确认自己是否满足签订无固定期限劳动合同的法定条件。
提出书面要求：如果满足条件，员工可以向单位提出书面要求，明确表达希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
保留证据：员工应保留好与单位沟通的相关证据，如书面要求、邮件、短信等，以备不时之需。
寻求法律援助：如果单位拒绝签订无固定期限劳动合同，且员工认为自身权益受到侵害，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、单位的注意事项
遵守法律规定：单位应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，不得无故拒绝与员工签订无固定期限劳动合同。
及时沟通：单位应与员工保持及时沟通，明确双方的权利义务，避免产生不必要的争议。
完善内部制度：单位应完善内部劳动合同管理制度，确保劳动合同的签订、履行、变更、解除等环节都符合法律规定。
总结与建议：单位要求员工书面提出签署无固定期限劳动合同本身并不违法，但关键在于是否满足法定条件以及单位是否在符合条件时拒绝签订。员工应确认自身条件，提出书面要求，并保留好相关证据。如果单位拒绝签订且员工认为自身权益受到侵害，可以寻求法律援助。同时，单位也应遵守法律规定，及时与员工沟通，完善内部制度。如果你还有其他关于婚姻家庭或合同纠纷的问题，可以直接向我咨询。