在私人餐馆工作6个月没签劳动合同被开除，你可以主张相应的赔偿。具体来说：
结论前置：你可以要求餐馆支付你5个月的双倍工资作为赔偿，并可能获得半个月工资的经济补偿金，同时还可以要求补缴社会保险等合法权益。
分析说明：
双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。你在餐馆工作了6个月，因此，餐馆应向你支付5个月的双倍工资（从用工满一个月的次日起至被开除之日止）。
经济补偿金：
- 如果餐馆没有合法理由就开除你，你还可以根据《劳动合同法》的相关规定，要求餐馆支付经济补偿金。由于你在餐馆工作了6个月，不满一年，所以餐馆应向你支付半个月工资的经济补偿金。
补缴社会保险：
- 餐馆作为用人单位，有义务自用工之日起三十日内为你办理社会保险登记并缴纳社会保险费。如果餐馆未为你缴纳社保，你可以要求餐馆补缴你在职期间的社会保险费用。
维权途径：
- 首先，你可以尝试与餐馆进行友好协商，要求支付相应赔偿和补缴社保等。
- 如果协商不成，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供相关证据以证明自己与餐馆的劳动关系及工作时间、工资待遇等情况。
- 对仲裁裁决不服的，你可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自身合法权益。
综上所述，你在私人餐馆工作6个月没签劳动合同被开除，可以要求餐馆支付双倍工资赔偿、经济补偿金，并要求补缴社会保险。如有需要，你可以直接向我咨询具体的维权细节和法律依据。