结论：被老板开除且工资已支付的情况下，您仍有权要求老板支付经济补偿金；同时，如果手部因工作原因造成腱鞘炎被认定为工伤，您也有权要求老板进行工伤赔偿。以下是对这两个问题的详细分析：
一、关于经济补偿金
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，除因劳动者严重违反规章制度等法定情形外，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的支付标准通常与劳动者在本单位的工作年限和月工资水平相关。
具体情形：
- 如果老板开除您的行为不符合法定解除劳动合同的情形，或者未按照法定程序进行，那么您有权要求老板支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式通常为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
建议行动：
- 首先，确认老板开除您的具体原因和程序是否符合法律规定。
- 如果不符合，您可以与老板协商要求支付经济补偿金；协商不成的，可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
二、关于工伤赔偿
工伤认定：
- 手部因工作原因造成腱鞘炎，如果符合《工伤保险条例》中关于工伤的定义和认定标准，那么应当被认定为工伤。
- 工伤认定通常需要由用人单位或者劳动者本人向社会保险行政部门提出申请，并提供相关证据材料。
赔偿项目：
- 如果被认定为工伤，您有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、护理费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
- 具体赔偿项目和标准根据工伤等级和当地工伤保险政策而定。
建议行动：
- 首先，及时向用人单位报告工伤情况，并要求用人单位协助您进行工伤认定申请。
- 如果用人单位不配合或者拒绝申请工伤认定，您可以自行向社会保险行政部门提出申请。
- 在工伤认定过程中，注意收集和保存相关证据材料，如医疗记录、工作记录等。
总结与进一步建议：
- 在处理这类劳动纠纷时，建议您保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。
- 如果您对法律程序不熟悉或者感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。