结论：在合同到期公司未通知续签，而您继续上班，逾期第四天公司通知可以不续签的情况下，您有权要求公司支付未续签期间的双倍工资（部分情况下），并可能享有经济补偿金，具体取决于公司的行为是否构成违法解除或终止劳动合同。
详细分析：
合同到期未续签，继续工作的法律性质：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在原用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。这意味着，在合同到期后，如果您继续上班且公司没有提出异议，那么您与公司之间实际上形成了一个新的、无固定期限的劳动合同关系（但需注意，此处的“无固定期限”并非绝对，若双方后续有明确约定或法律另有规定，则可能有所不同）。不过，更准确的理解是，双方继续按照原合同条件履行，直至一方提出终止或变更。
公司通知不续签的法律后果：
- 如果公司在合同到期后未及时与您续签，但在您继续工作一段时间后通知不续签，这并不直接构成违法解除或终止劳动合同。然而，公司应当支付您在未续签期间（即从合同到期日至公司通知不续签日）的双倍工资中的一倍（因为另一倍是您原本就应得的工资），这是基于公司未及时与您签订书面劳动合同的法律责任。但需注意，这一责任通常限于合同到期后的一定期限内（如一个月内），具体根据地方性法规或司法解释可能有所不同，且若公司能证明未续签是因您的过错导致，则可能免除此责任。不过，在您描述的情况下，公司未通知续签，您继续工作，公司逾期通知不续签，公司很难证明是您的过错导致未续签。
- 另外，如果公司通知不续签的行为构成违法解除或终止劳动合同（例如，在没有合法理由的情况下突然通知不续签，且未提前通知或支付经济补偿金），则您有权要求公司支付经济补偿金，甚至可能要求赔偿金。但根据您描述的情况，公司是在合同到期后您继续工作了一段时间才通知不续签，这并不直接构成违法解除，除非公司未按照法定程序进行（如未提前通知、未支付经济补偿金等，但具体需看公司是否满足法定解除或终止的条件）。不过，若公司未提前通知您不续签，且您因此遭受了损失（如寻找新工作的机会成本等），您可能可以主张一定的赔偿，但这需要具体证据支持。
您的权利与应对策略：
- 要求支付未续签期间的双倍工资差额：您可以与公司协商，要求支付从合同到期日至公司通知不续签日期间的双倍工资中的一倍（即额外支付一倍工资）。如果公司拒绝，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 主张经济补偿金：如果公司通知不续签的行为在实质上构成了违法解除或终止劳动合同（例如，未按照法定程序进行），您可以要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常根据您在公司的工作年限和月工资来确定。
- 保留证据：无论您选择哪种方式维护自己的权益，都请务必保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、公司通知不续签的书面材料等。
建议：
- 首先，与公司进行友好协商，尝试通过沟通解决问题。
- 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，请务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。