结论前置：针对您描述的情况，员工可依法主张违法解除赔偿金、未签劳动合同的双倍工资差额以及要求补缴社保，具体分析如下：

1. 违法解除劳动关系赔偿金
   根据《劳动合同法》第47、87条，用人单位违法解除劳动合同需支付赔偿金，标准为经济补偿金的2倍。经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年的按1年计算，不满6个月的支付半个月工资。您仅工作6天，虽不满6个月，但因用人单位违法解除，仍可主张半个月工资的2倍，即1个月工资作为赔偿金。需注意，工资标准以解除前12个月平均工资为准，若工作不满12个月，则按实际工作期间平均工资计算。

2. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面劳动合同的，需支付双倍工资。但您仅工作6天，未超过1个月的“宽限期”，因此无法主张双倍工资差额。不过，若用人单位在您入职后1个月内仍未补签合同，后续可继续主张该权利。

3. 补缴社保的请求
   根据《社会保险法》第58、60条，用人单位应自用工之日起30日内为员工办理社保登记并缴纳社保。您工作6天虽时间较短，但用人单位仍负有补缴义务。您可向当地社保部门投诉，要求用人单位补缴工作期间的社保费用（个人部分需自行承担）。

行动建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、聊天记录等证明劳动关系及工作时间的材料；
   
2. 协商解决：与用人单位沟通，要求支付赔偿金并补缴社保；
   
3. 投诉或仲裁：若协商无果，可向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁（需在离职后1年内提出）。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合具体细节为您详细解答。