结论：在工厂上班路上被狗撞骨折，若未被认定为工伤，公司给予三个月病假后，若您仍需请假，公司不能随意解雇您，但需根据具体情况和法律规定来判断公司的行为是否合法。

分析如下：

1. 工伤认定问题：

   • 根据《工伤保险条例》第十四条，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。但您的情况是被狗撞骨折，这并不直接属于上述列举的工伤情形。然而，如果能够证明该事故与工作有直接关联，或者存在其他特殊情况（如狗是工厂饲养的，且因工厂管理不善导致事故发生），仍有可能被认定为工伤。若未被认定为工伤，则无法享受工伤保险待遇。

2. 病假与医疗期问题：

   • 若未被认定为工伤，您将按照公司的病假制度享受病假待遇。公司给予您三个月病假，这是公司根据自身规定和您的病情做出的决定。
   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，一般为三个月到二十四个月不等。若您在医疗期内，公司不得随意解雇您。

3. 公司解雇的合法性：

   • 若您医疗期满后，仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，公司可以提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资后，解除劳动合同。但公司需支付经济补偿金，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 若您医疗期未满，或者虽医疗期满但公司未按照上述规定程序解除劳动合同，则公司的解雇行为可能构成违法解除劳动合同，您有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。

4. 建议与行动：

   • 首先，建议您与公司沟通，了解公司对于您后续请假的具体政策和态度。
   • 若公司表示无法继续批准请假或提出解雇，您可以要求公司出具书面通知，并明确解雇的理由和依据。
   • 若您认为公司的解雇行为违法，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

后续可能需要的法律知识：

• 在申请仲裁时，您需要准备相关证据，如劳动合同、病假证明、医疗期证明、公司解雇通知等。
• 仲裁过程中，您需要了解仲裁程序和规则，以及如何陈述自己的诉求和理由。
• 若对仲裁结果不满，您还可以向法院提起诉讼，进一步维护自己的权益。

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