结论：考上事业编但未上班、未签劳动合同就生病的情况下，一般不能被开除，但具体还需根据实际情况和单位规定来判断。以下从多个角度进行分析：
一、劳动关系建立与劳动合同签订
劳动关系建立：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。这意味着，仅仅考上事业编，但尚未实际到岗工作，尚未与单位形成实际的用工关系，因此，从严格意义上讲，此时双方尚未建立劳动关系。
劳动合同签订：虽然考上事业编，但如果没有签订劳动合同，那么双方之间的权利义务关系尚未通过书面形式明确下来。然而，这并不意味着单位可以随意解除与你的关系，因为事业编的录用通常伴随着一定的程序和规定，这些程序和规定往往对双方都有约束力。
二、生病与开除的关系
一般情况：在劳动关系建立后，如果劳动者因病不能工作，单位通常不能随意开除劳动者。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
特殊情况：然而，在你尚未实际到岗工作、尚未签订劳动合同的情况下，如果单位有明确的规章制度规定，或者录用通知中有相关条款说明，在特定情况下（如考生因个人原因无法到岗等）可以取消录用或解除关系，那么单位可能会依据这些规定或条款来处理。但这种情况相对特殊，且需要单位有明确的、合法的规章制度作为依据。
三、建议与措施
与单位沟通：首先，建议你与录用单位进行沟通，了解他们的具体规定和态度。如果单位表示理解并愿意保留你的职位，那么你可以安心治疗，待康复后再到岗工作。
查看录用通知和规章制度：仔细查看你的录用通知和单位的规章制度，了解其中是否有关于因病不能到岗的处理规定。如果有，那么你需要根据这些规定来与单位协商解决方案。
寻求法律援助：如果单位在没有合法依据的情况下决定开除你，或者你在与单位沟通的过程中遇到困难，那么你可以寻求法律援助。作为专业律师，我可以为你提供法律咨询和帮助，维护你的合法权益。
总结：考上事业编但未上班、未签劳动合同就生病的情况下，一般不能被开除。但具体还需根据实际情况和单位规定来判断。如果你遇到类似问题，建议先与单位沟通，了解他们的具体规定和态度，并仔细查看录用通知和规章制度。如有需要，可以随时向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。