结论前置：员工生病后，公司一般不能随意开除，但特定情况下可以依法解除劳动合同。

详细分析：

1. 医疗期内的保护：

   • 根据《劳动合同法》第四十二条第三项规定，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，公司不得依照《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期的长度依据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定。

2. 医疗期满后的处理：

   • 若员工医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。此时，公司需向员工支付经济补偿，补偿标准按员工在本单位工作的年限计算。

3. 特殊情形下的解除：

   • 即使员工处于生病期间，若其存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害等过错行为，公司可依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

4. 合同约定的考量：

   • 如果劳动合同中有关于员工生病期间解除劳动合同的相关约定，并且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么也可以按照约定来处理。但需注意，此类约定应合理且合法。

总结与建议： 公司在处理员工生病期间的劳动合同问题时，应严格遵循相关法律法规的规定，确保员工的合法权益得到充分保障。同时，建议公司在制定劳动合同时，明确约定相关条款，以便在发生争议时有据可依。若公司在此方面存在疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。