结论：与单位签订了无固定期限劳动合同后，因病进行了劳动能力鉴定，单位是否可以开除您，这取决于您的劳动能力鉴定结果以及相关法律法规的规定。一般情况下，除非符合法定解除条件，否则单位不得随意开除您。以下从不同情况进行分析：

一、若劳动能力鉴定结果为完全丧失劳动能力

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者因工致残被鉴定为一级至四级伤残的，即完全丧失劳动能力，用人单位不得解除劳动合同，而是应当保留劳动关系，退出工作岗位，并享受相应的工伤保险待遇。这是为了保护劳动者的合法权益，确保其在丧失劳动能力后能够得到基本的生活保障。

二、若劳动能力鉴定结果为大部分丧失劳动能力或部分丧失劳动能力

1. 若符合法定解除条件：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有严重违反用人单位的规章制度的、严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的、被依法追究刑事责任等情形的，用人单位可以解除劳动合同。但这些情形与劳动能力鉴定结果无直接关联，而是基于劳动者的行为或犯罪情况。
   • 若劳动者因病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，且用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但这一规定同样需要满足特定条件，并非仅因劳动能力鉴定结果即可解除。

2. 若不符合法定解除条件：

   • 若劳动者的劳动能力鉴定结果为大部分丧失劳动能力或部分丧失劳动能力，但并未达到上述法定解除条件，则用人单位不得随意解除劳动合同。否则，劳动者有权依法维护自己的合法权益，包括要求用人单位继续履行劳动合同、支付违法解除劳动合同的赔偿金等。

三、特殊情况下的解除与补偿

• 经济性裁员：在特定情况下，如用人单位濒临破产进行法定整顿期间或者生产经营状况发生严重困难，确需裁减人员的，可以依法进行经济性裁员。但即使在这种情况下，用人单位也需要按照法定程序进行，并支付相应的经济补偿。
• 协商解除：用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。在这种情况下，双方可以就解除劳动合同的条件、经济补偿等事项进行协商，并达成一致意见。

法律建议

1. 了解自身权益：在面临劳动能力鉴定和可能的劳动合同解除时，您应首先了解自己的权益和法律法规的相关规定。
2. 与用人单位沟通：在了解自身权益的基础上，您可以与用人单位进行沟通，了解其解除劳动合同的意图和依据，并表达自己的意见和诉求。
3. 寻求法律援助：若您认为用人单位的行为侵犯了您的合法权益，您可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。

最后，劳动能力鉴定结果并非用人单位解除劳动合同的唯一依据。在解除劳动合同前，用人单位必须确保符合法定解除条件，并按照法定程序进行。若您面临类似情况，建议直接向我咨询，以便更准确地了解自己的权益和应对策略。