结论：员工非因工生病后被鉴定为完全丧失劳动能力，单位在特定条件下可以解除劳动关系，但必须遵循严格的法律程序，并承担相应的法律责任。以下从不同角度详细分析：
一、法律允许解除劳动关系的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以解除劳动合同。这一条款为用人单位在特定条件下解除与完全丧失劳动能力员工的劳动关系提供了法律依据。但需要注意的是，解除劳动关系前，用人单位必须确保员工已经经过了规定的医疗期，并且确实无法从事原工作或另行安排的工作。
二、解除劳动关系的程序要求
提前通知或支付代通知金：用人单位在解除劳动关系前，应当提前三十日以书面形式通知劳动者本人，或者额外支付劳动者一个月工资作为代通知金。
通知工会：根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十七条的规定，建立了工会组织的用人单位解除劳动合同，但未按照劳动合同法第四十三条规定事先通知工会，劳动者以用人单位违法解除劳动合同为由请求用人单位支付赔偿金的，人民法院应予支持。因此，用人单位在解除劳动关系前，应当通知工会并听取工会的意见。
出具书面证明：用人单位解除劳动关系时，应当向劳动者出具书面证明，并说明解除劳动合同的理由。
三、解除劳动关系后的经济补偿与医疗补助费
经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
医疗补助费：根据劳动部《违反和解除劳动合同的经济补偿办法》（虽已废止，但相关精神在司法实践中仍被参考）及部分地方性法规的规定，经劳动能力鉴定委员会确认不能从事原工作、也不能从事用人单位另行安排的工作而解除劳动合同的，用人单位除支付经济补偿外，还应当支付不低于六个月工资的医疗补助费。对于达到一定伤残等级的员工，还可能享有额外的医疗补助费。具体标准可能因地区而异，需参照当地的相关规定。
四、员工权益保护与救济途径
沟通协商：员工在面临单位解除劳动关系时，应首先与单位进行沟通协商，了解解除的具体原因和依据，并尝试达成互利协议。
申请劳动争议调解：若沟通协商无果，员工可以向企业内部的劳动争议调解委员会或当地的基层人民调解组织、街道（乡镇）劳动争议调解组织申请调解。
申请劳动仲裁：若调解无果，员工可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，要求裁决单位支付经济补偿、医疗补助费等。
提起诉讼：若对仲裁结果不满意或单位不履行仲裁裁决，员工可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求法院判决单位承担相应的法律责任。
五、特殊情况下的处理
如果员工所患疾病属于职业病或在工作过程中因工伤导致完全丧失劳动能力，那么单位解除劳动关系将受到更为严格的限制。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的规定，劳动者因职业病或工伤导致完全丧失劳动能力的，用人单位不得随意解除劳动合同。在此情况下，员工应依法享受工伤保险待遇，包括一次性伤残补助金、伤残津贴等。
总结与建议：员工非因工生病后被鉴定为完全丧失劳动能力，单位在特定条件下可以解除劳动关系，但必须遵循严格的法律程序，并承担相应的法律责任。员工在面临此类情况时，应充分了解自己的权益和单位的责任，通过沟通协商、申请调解、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。