结论：单位违法解除合同后，劳动者能否续签无固定期限劳动合同，需根据具体情况判断。若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，且单位违法解除并未导致这些条件丧失，劳动者仍有权要求续签；若因单位违法解除导致劳动者不符合条件，则可能无法续签，但可主张违法解除的赔偿。
分析说明：
违法解除合同的性质与后果：
- 单位违法解除劳动合同，是指单位在没有合法依据或未按照法定程序的情况下，单方面终止与劳动者的劳动关系。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，单位违法解除劳动合同的，劳动者有权要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》第十四条，无固定期限劳动合同的签订条件主要包括：劳动者在该单位连续工作满十年；用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年；连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
- 若劳动者符合上述条件之一，且单位违法解除并未导致这些条件丧失（如劳动者工作年限未因解除而中断），则劳动者仍有权要求续签无固定期限劳动合同。
单位违法解除对续签无固定期限劳动合同的影响：
- 如果单位违法解除劳动合同，但劳动者仍然符合签订无固定期限劳动合同的条件（如工作年限未受影响），劳动者可以要求单位继续履行原合同或签订无固定期限劳动合同。
- 如果因单位违法解除导致劳动者不符合签订无固定期限劳动合同的条件（如工作年限中断），则劳动者可能无法直接要求续签无固定期限劳动合同。但在此情况下，劳动者可以主张单位违法解除的赔偿，并可能通过其他途径（如协商、调解、仲裁或诉讼）寻求救济。
行动建议：
- 若您符合签订无固定期限劳动合同的条件：且单位违法解除并未导致这些条件丧失，您可以向单位提出续签无固定期限劳动合同的要求。如果单位拒绝，您可以考虑通过劳动仲裁或诉讼途径维护自己的权益。
- 若您因单位违法解除而不符合签订无固定期限劳动合同的条件：您仍然可以主张单位违法解除的赔偿。同时，您可以与单位协商，看是否能够达成其他形式的补偿或安置协议。如果协商不成，您也可以通过劳动仲裁或诉讼途径寻求救济。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，关键在于准确判断劳动者是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以及单位违法解除是否对这些条件产生了影响。
- 劳动者应保留好与单位签订的劳动合同、工作证明、工资单等相关证据，以便在争议发生时能够充分证明自己的权益。
- 在处理劳动纠纷时，建议劳动者及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权益和维权途径。
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