事业单位员工在第二次合同到期后，确实有可能签订无固定期限劳动合同，但具体是否签订需根据相关法律法规、单位规定及双方协商结果来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、法定情形下的续签义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在特定法定情形下，事业单位有义务与员工签订无固定期限劳动合同。这些情形包括但不限于：
- 员工在本单位连续工作满十年：如果员工在事业单位连续工作满十年，且双方协商一致，可以签订无固定期限劳动合同。
- 距法定退休年龄不足十年：对于距离法定退休年龄不足十年的员工，事业单位在合同到期后，如果员工提出续签无固定期限劳动合同，单位应当予以考虑并签订。
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且员工无过错：如果员工已经与事业单位连续订立了二次固定期限劳动合同，且员工在合同期内没有严重违反单位规章制度、没有严重失职或营私舞弊给单位造成重大损害等过错行为，同时员工提出或者同意续订、订立劳动合同的（除员工提出订立固定期限劳动合同外），事业单位应当与员工签订无固定期限劳动合同。
二、协商一致原则
除了法定情形外，事业单位与员工在合同到期后是否续签无固定期限劳动合同，还应遵循协商一致的原则。这意味着，双方应就续签事宜进行充分协商，达成一致意见后签订新的劳动合同。如果员工希望签订无固定期限劳动合同，但事业单位不同意，且不存在上述法定情形，那么双方可能无法签订无固定期限劳动合同。
三、续签合同的程序和注意事项
- 提前通知：事业单位通常会在合同到期前一定时间内（如30天）通知员工是否续签，以便员工提前做好职业规划和工作安排。
- 协商条款：续签合同时，双方应就新的合同条款进行协商，包括工作内容、工作地点、劳动报酬、社会保险等。这些条款的变更应符合法律法规的规定，并体现双方的意愿。
- 签订书面合同：续签合同必须采用书面形式，明确双方的权利和义务。口头协议或未签订书面合同可能导致劳动争议和法律风险。
四、不续签合同的情形和处理方式
- 单位不续签：如果事业单位决定不再与员工续签合同，应依法支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准按照员工在单位的工作年限和月工资水平确定。
- 员工不续签：如果员工选择不续签合同，应提前通知单位并做好工作交接。在此情况下，单位无需支付经济补偿金，但应确保员工的合法权益不受侵害。
建议：如果您作为事业单位的员工，在第二次合同到期后希望签订无固定期限劳动合同，建议您首先了解自己是否符合上述法定情形。如果符合，您可以向单位提出续签无固定期限劳动合同的请求，并与单位进行充分协商。如果单位不同意续签或双方无法达成一致意见，您可以考虑通过劳动仲裁等法律途径维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。