核心结论：针对您描述的“未签合同、两个月前提出离职但员工突然离职”的情况，需结合劳动关系认定、离职程序合法性及用人单位应对措施综合分析。以下是具体处理建议：

1. 劳动关系认定：未签合同≠无劳动关系

• 根据《劳动合同法》第10条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，未签书面合同不影响事实劳动关系存在。若员工能提供工资流水、考勤记录、工作证等证据，仍可主张劳动关系。
• 风险点：用人单位可能面临支付双倍工资（最长11个月）的风险（《劳动合同法》第82条）。

2. 离职程序合法性：需区分“提出离职”与“实际离职”

• 若员工两个月前已书面提出离职（如邮件、微信等可留痕方式）：根据《劳动合同法》第37条，劳动者提前30日书面通知即可解除合同。若员工在30日后离职，程序合法；但若未满30日突然离职，可能构成违法解除，用人单位可主张损失赔偿（需举证实际损失）。
• 若员工未提前通知直接离职：属于违法解除，用人单位可要求赔偿直接经济损失（如招聘替代人员费用、项目延误损失等），但需提供充分证据。

3. 用人单位应对措施

• 立即固定证据：
  • 收集员工未签合同的证据（如入职登记表、工资发放记录）；
  • 留存员工提出离职的记录（如邮件、聊天记录）；
  • 记录员工突然离职的时间、岗位空缺影响及损失清单。
• 协商或法律途径：
  • 优先与员工协商补偿方案（如结算工资、协商赔偿）；
  • 若协商无果，可向劳动仲裁委申请仲裁，主张：

       1. 未签合同的双倍工资差额；
       2. 员工违法解除的损失赔偿（需举证）。
    

• 完善后续管理：
  • 立即与在职员工补签书面劳动合同；
  • 制定规范的离职流程（如书面离职申请、工作交接单）。

4. 员工突然离职的潜在风险

• 工资结算：用人单位需全额支付员工工作期间的工资（《工资支付暂行规定》第9条）；
• 社保与公积金：需办理停缴手续，避免漏缴风险；
• 工作交接：若员工未交接导致损失，用人单位可追责，但需证明损失与离职的直接因果关系。

建议行动步骤：

1. 核查员工入职时间、工资发放记录等证据；
2. 评估员工突然离职对业务的具体影响及损失金额；
3. 根据证据充分性，决定是协商解决还是启动劳动仲裁；
4. 同步完善劳动合同签订及离职管理制度，避免后续风险。

如有进一步证据或细节需要分析，可直接向我提供具体信息，我会为您定制解决方案。