结论前置：公司能否以员工随地小便为由开除该员工，需结合具体情况判断，主要取决于公司规章制度、事件严重性及证据充分性。以下分情况说明：
1. 若公司规章制度明确将“随地小便”列为严重违纪行为，且员工已知悉该制度
- 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位规章制度的，用人单位可解除劳动合同。
- 关键点：
- 规章制度需经民主程序制定（如职工代表大会讨论），并向员工公示或送达；
- 制度中需明确“随地小便”属于严重违纪，且与劳动纪律、职业道德直接相关；
- 公司需提供充分证据（如监控录像、证人证言、现场照片等）证明员工行为属实。
- 结论：若满足上述条件，公司可依法开除员工，且无需支付经济补偿。
2. 若公司规章制度未明确规定，或规定模糊
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四条，用人单位制定规章制度需合法、合理，且不得违反公序良俗。
- 关键点：
- 随地小便虽不文明，但若未被制度明确禁止，公司直接开除可能被认定为“违法解除”；
- 即使制度未规定，若员工行为造成恶劣影响（如引发客户投诉、媒体曝光等），公司可尝试以“严重失职，造成重大损害”为由解除合同，但需证明损害与行为的直接关联性。
- 结论：公司需谨慎处理，建议先通过警告、罚款等内部措施纠正，若无效再考虑解除合同。
3. 若员工行为情节轻微，或存在特殊情况
- 关键点：
- 如员工因突发疾病、紧急情况等非主观故意行为，公司需体现人文关怀，不宜直接开除；
- 若员工事后主动认错、整改，公司可酌情从轻处理。
- 结论：直接开除可能被认定为“过于严苛”，存在法律风险。
补充建议：
- 公司层面：完善规章制度，明确劳动纪律和奖惩措施，并通过培训、公示等方式确保员工知悉；
- 员工层面：遵守公司规定和基本职业道德，避免因小失大；
- 争议解决：若发生纠纷，可通过劳动仲裁或诉讼解决，证据是关键。
总结：公司能否开除随地小便的员工，需结合制度依据、行为性质和证据充分性综合判断。建议公司依法依规处理，员工也需注意职场行为规范。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。