公司在您患病期间辞退且不支付赔偿金的行为，很可能违反了法律规定，您有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。以下是从不同角度为您进行的分析：
一、法律背景
根据《劳动合同法》的相关规定，员工在患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，公司不得随意解除劳动合同。若公司在医疗期内辞退员工，且未支付经济补偿，则构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍，经济补偿按员工在公司的工作年限计算，每满一年支付一个月工资。
二、维权途径
协商：
- 您可先与公司进行协商，明确告知公司其行为违反了法律规定，并要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 协商时，可准备相关证据，如劳动合同、医疗证明、辞退通知等，以支持您的主张。
投诉：
- 若协商无果，您可向当地的劳动监察部门投诉。
- 投诉时，需提交能证明劳动关系、患病情况及被辞退的证据，劳动监察部门会依法进行调查处理，并责令公司改正。
仲裁：
- 您还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 仲裁申请需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提交书面申请。
诉讼：
- 若对仲裁结果不服，您可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。
三、证据收集
在维权过程中，证据的收集至关重要。您应准备以下证据：
- 劳动合同：证明您与公司之间的劳动关系。
- 医疗证明：如病历、诊断证明等，证明您患病及需要医疗期的事实。
- 辞退通知：证明公司辞退您的事实及时间。
- 工资流水：证明您在公司的工作年限及工资水平，以便计算经济补偿和赔偿金。
四、可能后果
- 若公司被认定违法解除劳动合同：则需支付您违法解除劳动合同的赔偿金，该赔偿金标准为经济补偿的二倍。
- 若公司拒绝支付赔偿金：且您通过法律途径维权成功，公司不仅需支付赔偿金，还可能面临劳动监察部门的处罚。
建议您先与公司进行协商，若协商无果，则及时向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。如有需要，您可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。