工地应当负责赔偿。以下是详细分析：

一、劳动关系的认定

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。这意味着，即使双方没有签订书面劳动合同，只要劳动者实际上已经在用人单位工作，劳动关系就已经建立。
2. 实际情况：工人第一天进工地，在生活区铺床时受伤，虽然尚未签订书面劳动合同，但已经实际接受了工地的工作安排和管理，因此可以认定双方已经建立了劳动关系。

二、工伤的认定与赔偿

1. 工伤定义：根据《工伤保险条例》，工伤是指在工作时间和工作场所内，因工作原因受到的事故伤害。工人铺床的行为可以视为为工作做准备，属于工作相关的活动，因此受伤可以认定为工伤。
2. 赔偿义务：既然工人与工地之间已经建立了劳动关系，且受伤属于工伤，那么工地作为用人单位，就应当承担工伤赔偿责任。这包括支付医疗费用、停工留薪期间的工资、一次性伤残补助金等。

三、未签订劳动合同的影响

1. 双倍工资赔偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然这一条款主要针对的是用工后未及时签订劳动合同的情况，但即使如此，也并不影响工伤赔偿的认定和支付。
2. 视为已订立无固定期限劳动合同：如果用工满一年仍未签订劳动合同，将视为已订立无固定期限劳动合同。但这一规定同样不影响当前工伤赔偿的处理。

四、建议与行动

1. 收集证据：工人应尽快收集能够证明与工地存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资支付凭证等。同时，收集医疗证明、事故现场照片等能够证明工伤的证据。
2. 申请工伤认定：向当地社会保险行政部门申请工伤认定。这是获得工伤赔偿的前提和基础。
3. 协商或诉讼：如果工地拒绝承担赔偿责任，工人可以通过劳动争议仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。

总结来看，工人第一天进工地，在生活区铺床时受伤，即使尚未签订书面劳动合同，工地也应当承担工伤赔偿责任。工人应尽快收集证据并申请工伤认定，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。