公安机关应当立案而不立案，属于违法失职行为，可能涉及行政责任或刑事责任。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与不立案的法定情形

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围迅速进行审查。认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。因此，公安机关应当立案而不立案，首先违反了这一法定程序。

二、责任追究

1. 行政责任：

   • 对于公安机关应当立案而不立案的失职行为，可以依据内部纪律规定对直接负责的主管人员和其他直接责任人员给予行政处分，如警告、记过等。这种处分旨在纠正失职行为，维护公安机关的执法公正性和效率。

2. 刑事责任：

   • 若情节严重，涉嫌徇私舞弊不移交刑事案件等犯罪的，要依法追究刑事责任。例如，如果公安机关工作人员因个人私利或徇私情而不立案，且情节严重，就可能构成犯罪，需要承担刑事责任。

三、救济途径

1. 向检察院反映：

   • 被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，有权向人民检察院提出。检察院应要求公安机关说明不立案的理由。

2. 检察院通知立案：

   • 若公安机关给出的不立案理由不成立，检察院应通知公安机关立案。公安机关接到通知后，应当立即立案，并开展相应的侦查工作。

四、实际案例分析

• 案例一：小朱向派出所报案称自己被小胡诈骗了一笔钱财，但派出所却以证据不足为由决定不予立案。小朱认为该案件明显属于诈骗，派出所应当立案侦查。在此情况下，小朱可以向人民检察院提出此事，要求检察院监督公安机关立案。

• 案例二：假设某起案件中，公安机关在接到报案后，明知存在犯罪事实且需要追究刑事责任，但因某种原因（如徇私情、收受贿赂等）而故意不立案。这种行为就构成了违法失职，相关责任人员应被追究行政责任或刑事责任。

五、建议与提醒

• 及时维权：如果您认为公安机关应当立案而不立案，应及时向人民检察院反映情况，维护自己的合法权益。

• 保留证据：在报案或控告时，务必保留好相关证据，以便在需要时提供给检察院或公安机关。

• 咨询专业律师：虽然我在此提供了全面的法律分析，但每个案件的具体情况都有所不同。如果您在处理此类问题时遇到困难，建议直接向我咨询，以便获得更具体的法律建议。

综上所述，公安机关应当立案而不立案属于违法失职行为，可能涉及行政责任或刑事责任。被害人有权向人民检察院反映情况，并要求检察院监督公安机关立案。在处理此类问题时，务必保留好相关证据，并及时咨询专业律师以维护自己的合法权益。