针对您提出的“合同刚好到期又正好生病，公司不续签”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，根据劳动法律法规，当劳动合同到期而劳动者正处于生病阶段时，劳动合同应当延续至医疗期满。这是为了保障劳动者在生病期间的合法权益，避免因为合同到期而失去工作保障和相应的医疗待遇。

如果公司在此情况下选择不续签劳动合同，那么这属于违法终止劳动合同的情形。您有权先尝试与公司进行协商，要求公司依照法律规定延续合同或者给予相应的补偿。在协商过程中，您可以明确表达自己的诉求和依据，希望公司能够尊重并遵守相关法律法规。

如果协商无果，您有权向劳动争议仲裁机构申请仲裁。在仲裁过程中，您可以主张公司支付违法终止劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算标准一般是按照您的工作年限，每满一年支付两个月工资。同时，您务必留存好患病相关的病历、诊断证明等证据，这些证据对于维护您的合法权益至关重要。

此外，我还想提醒您关注一些相关问题。比如医疗期的计算方式，这通常根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，关系到您能享受多长的医疗期保障。还有生病职工在医疗期内的工资待遇问题，企业通常应按规定发放一定比例的工资，这也是您需要了解并维护的权益。

综上所述，面对合同到期生病期间公司不续签的情况，您应当了解自己的权益并依法进行维权。通过协商、仲裁等途径，争取自己的合法权益得到保障。希望我的解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。