当您的劳动合同到期且您正处于生病期间时，如果用人单位表示不续签劳动合同，您完全有权依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的处理方式和法律依据：
一、处理方式
与用人单位协商：
- 首先，建议您主动与用人单位进行沟通，了解他们不续签的具体原因。
- 表达您希望继续履行劳动合同的意愿，特别是在您生病需要治疗和恢复的期间。
- 如果双方能够达成一致，可以签订新的劳动合同或续订原合同，确保您的权益不受损害。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，您需要提供相关证据，如医疗证明、劳动合同、工资单等，以证明您在生病期间且合同已到期但用人单位未续签的事实。
- 仲裁委员会将根据相关法律法规进行裁决，要求用人单位支付经济补偿金等相应赔偿。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼。
- 通过司法途径，您可以进一步维护自己的权益，确保得到公正的裁决。
二、法律依据
《中华人民共和国劳动合同法》相关规定：
- 第四十二条：明确规定了劳动者在患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。
- 第四十四条：虽然规定了劳动合同期满即终止，但同时也指出了存在特殊情形需区别对待。
- 第四十五条：特别指出，劳动合同期满时，如果劳动者处于医疗期内，劳动合同应当续延至医疗期满。
- 第四十六条：规定了用人单位在终止固定期限劳动合同时，应当向劳动者支付经济补偿的情形，包括您所遇到的情况（除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订）。
经济补偿标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、特殊保护与医疗期
- 医疗期定义：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期长度：根据您的实际工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。具体计算方式可参照相关法律法规或咨询当地劳动部门。
- 医疗期内的权益：在医疗期内，您享有病假工资或疾病救济费，且不低于最低工资标准的80%。同时，用人单位不得解除劳动合同，必须将合同续延至医疗期结束。
四、应对建议
- 了解权益：首先，您需要清楚自己在生病期间的权益，特别是医疗期和劳动合同续签的规定。
- 提供证据：及时向用人单位提供病历、诊断证明等相关材料，以证明您的病情和需要治疗的事实。
- 协商解决争议：优先与用人单位协商解决争议，表达您的诉求和期望。
- 寻求法律援助：如果协商无果，您可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的法律权益和可行的维权途径。
综上所述，当您的劳动合同到期且您正处于生病期间时，用人单位应依法将合同续延至医疗期满。如果用人单位违反规定不续签合同，您完全有权通过协商、仲裁或诉讼等方式来维护自己的合法权益。希望这些信息能对您有所帮助。