当您被指派到其他单位工作并受伤时，关于工伤保险责任的承担，可以按照以下步骤和原则来处理：

一、及时救治与报告备案

1. 救治措施：受伤后，您应立即前往正规医疗机构接受治疗，确保生命安全，避免伤情恶化。同时，您的原用人单位有义务第一时间将您送往医疗机构。

2. 报告备案：原用人单位需在事故发生后24小时内（特殊情况下可适当延长）向劳动保障行政部门和工伤保险经办机构报告备案。若原单位未及时报告，您或您的亲属也可自行报告。

二、确认劳动关系及责任归属

1. 明确劳动关系：您需要确认与原单位存在合法有效的劳动关系，劳动合同是最直接的证明。若无书面合同，可通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据来证明。

2. 确定责任主体：

   • 一般情况：原单位通常承担工伤保险责任，因为您与原单位的劳动关系并未因指派而改变。
   • 特殊约定：如果原单位与被指派单位之间有关于工伤责任承担的书面约定，该约定不能对抗您要求原单位承担工伤责任的权利。原单位承担责任后，可根据约定向被指派单位追偿。

三、工伤认定

1. 申请主体与时限：

   • 原用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 若原单位未在规定时限内提交申请，您或您的近亲属、工会也可在事故发生之日起1年内直接向社会保险行政部门申请工伤认定。

2. 所需材料：包括工伤认定申请表、与原单位存在劳动关系的证明材料（如劳动合同、工资发放记录等）、医疗机构出具的受伤后诊断证明书或职业病诊断证明书。

3. 认定标准：根据《工伤保险条例》的相关规定，您因工外出期间，由于工作原因受到伤害，应认定为工伤。

四、劳动能力鉴定与工伤保险待遇支付

1. 劳动能力鉴定：伤情稳定后，若影响劳动能力，您需向劳动能力鉴定委员会申请鉴定。提供工伤认定决定和医疗资料，劳动能力鉴定委员会将在规定时间内作出鉴定结论。

2. 工伤保险待遇支付：

   • 缴纳保险情况：若原单位依法为您缴纳了工伤保险费，则您的工伤保险待遇由工伤保险基金和原单位分别支付（如医疗费用、康复费用由工伤保险基金支付，停工留薪期工资福利待遇由原单位支付）。
   • 未缴纳保险情况：若原单位未为您缴纳工伤保险费，则您应享受的全部工伤保险待遇都由原单位自行承担。

五、争议解决

• 若对工伤认定结果不服，您可依法申请行政复议或提起行政诉讼。
• 若对工伤保险待遇支付有争议，您可通过劳动争议仲裁或诉讼等法律途径解决。

六、建议与律师介入

在整个处理过程中，建议您咨询专业律师以获取准确的法律指导和帮助。律师可以协助您准备相关证据、申请工伤认定和劳动能力鉴定、进行索赔谈判或参与仲裁和诉讼等，从而缩短赔偿时间，提高赔偿数额，并有效维护您的合法权益。

综上所述，当您被指派到其他单位工作并受伤时，应依法进行工伤认定、劳动能力鉴定，并根据结果索赔。原单位通常承担工伤保险责任，若遇争议，应通过合法途径解决，并寻求专业律师的支持。