在劳务派遣中，当被派遣劳动者发生工伤时，派遣公司与用工单位的工伤责任承担方式如下：
派遣公司（劳务派遣单位）的责任：
- 申请工伤认定：根据《工伤保险条例》第十七条，劳务派遣单位作为被派遣劳动者的用人单位，应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未在规定时限内提交申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在一年内直接提出申请。
- 支付相关费用：若劳务派遣单位为被派遣劳动者缴纳了工伤保险费，工伤保险基金将支付相应的工伤保险待遇，如医疗费、康复费、伤残津贴等。但劳务派遣单位仍需承担停工留薪期内的工资福利待遇、一次性伤残就业补助金（如果解除或终止劳动关系）等费用。若未依法缴纳工伤保险费，则劳务派遣单位需按照工伤保险待遇项目和标准支付全部费用。
用工单位的责任：
- 提供必要协助：用工单位应协助工伤认定的调查核实工作，如实提供相关证据材料，如事故发生的时间、地点、经过等，以便准确认定工伤事实。
- 承担连带赔偿责任：当劳务派遣单位未依法履行工伤保险责任时，用工单位需与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。这意味着被派遣劳动者既可以要求劳务派遣单位承担赔偿责任，也可以要求用工单位承担赔偿责任。例如，若劳务派遣公司因经营不善未能为劳动者缴纳工伤保险，劳动者在工作中受伤后，他可以向劳务派遣公司要求赔偿，如果劳务派遣公司无法承担全部赔偿责任，用工单位则需要与劳动者共同承担剩余的赔偿义务。
具体处理流程：
- 及时救治与报告：用工单位应立即采取措施将受伤员工送往就近的医疗机构进行救治，并及时与劳务派遣单位沟通，启动后续的工伤处理程序。
- 申请工伤认定：劳务派遣单位应在规定时限内提交工伤认定申请，并提供相关材料。
- 劳动能力鉴定：职工发生工伤且伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应进行劳动能力鉴定。鉴定由用人单位、工伤职工或其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请。
- 工伤保险待遇支付：根据工伤保险缴纳情况，由工伤保险基金或劳务派遣单位支付相应的工伤保险待遇。
争议解决途径：
若派遣员工与劳务派遣单位、用工单位就工伤认定、待遇支付等问题发生争议，可通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径解决。建议优先通过协商、调解等方式化解矛盾，必要时可依法申请仲裁或提起诉讼。
温馨提示：在处理派遣员工的工伤问题时，派遣公司与用工单位应明确各自的责任划分，遵循及时救治、依法认定的原则，确保受伤员工能够及时获得应有的赔偿和救助。如果你或你身边的人遇到了相关问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。