在劳务派遣关系中，若劳动者在工作期间受伤，用工单位与派遣单位需根据具体情况承担相应的法律责任。以下是对这一问题的详细解答：
一、派遣单位的主要责任
工伤保险责任：
- 派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费。当劳动者发生工伤事故时，派遣单位应负责向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保劳动者依法享受工伤保险待遇。
- 若派遣单位未按规定缴纳工伤保险，导致劳动者无法从工伤保险基金获得赔偿，派遣单位需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤劳动者支付全部相关费用。
法定义务履行：
- 派遣单位需履行用人单位对劳动者的所有义务，包括但不限于保障劳动者工作安全、支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的可能责任
过错补充赔偿责任：
- 若劳动者受伤是由于用工单位提供的设备设施存在安全隐患、工作环境不符合安全标准或管理不善等过错导致的，用工单位需承担补充赔偿责任。这种责任是在派遣单位已承担工伤保险责任后，对于仍不足以弥补劳动者损失的部分，由用工单位进行补充赔偿。
连带赔偿责任：
- 当派遣单位未为劳动者缴纳工伤保险费，且劳动者因此无法从工伤保险基金获得赔偿时，用工单位与派遣单位需对劳动者的损失承担连带赔偿责任。用工单位不能仅因劳动者与派遣单位存在劳动关系而逃避其应承担的连带赔偿责任。
协助工伤认定责任：
- 用工单位有义务协助派遣单位进行工伤认定的申请工作，包括提供事故发生经过、证人证言、监控视频等相关证据材料。若用工单位拒绝履行协助义务，导致工伤认定无法顺利进行，进而影响劳动者及时获得工伤保险待遇，用工单位可能需对由此给劳动者造成的损失承担赔偿责任。
提供安全卫生条件的责任：
- 用工单位需为被派遣劳动者提供符合国家规定的劳动安全卫生条件和必要的劳动保护用品，并对从事有职业危害作业的劳动者定期进行健康检查。若因用工单位未提供这些必要条件而导致劳动者受伤，用工单位需对劳动者的伤害负责。
三、责任分担的约定与劳动者权益保障
- 派遣单位和用工单位可以在劳务派遣协议中约定工伤事故的责任分担方式，但这种约定仅在双方之间有效，不能对抗受伤劳动者要求派遣单位承担工伤保险责任的权利。派遣单位在承担责任后，可依据协议约定向用工单位进行追偿。
- 劳务派遣劳动者享有与用工单位直接雇佣劳动者相同的劳动保护和劳动条件，以及相应的权益保障。在受伤时，劳动者应首先向派遣单位主张工伤保险待遇，同时可根据实际情况向用工单位主张补充赔偿责任。
四、结论与建议
综上所述，劳务派遣中劳动者受伤时，派遣单位与用工单位可能需共同承担责任，具体责任取决于双方的行为、法律规定以及协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，建议派遣单位与用工单位在劳务派遣协议中明确约定工伤事故的责任分担方式，并严格遵守相关法律法规，切实履行对劳动者的各项义务和责任。同时，劳动者在受伤后应及时向派遣单位和用工单位主张权益，必要时可寻求法律援助或提起诉讼以维护自身合法权益。