针对您提出的“劳务派遣的员工外出工作发生交通事故死亡，如何主张赔偿责任”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、确定事故责任

首先，需要由交警部门对事故进行调查，并出具交通事故责任认定书。这份认定书将明确各方在事故中的责任比例，是后续主张赔偿的重要依据。

二、申请工伤认定

若该员工是在工作过程中发生的事故，且符合工伤认定的情形，那么用工单位或劳务派遣单位应在规定时间内向社保行政部门申请工伤认定。一旦认定为工伤，家属就有权从工伤保险基金中领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。

• 丧葬补助金：通常为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
• 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。
• 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。

三、向侵权方主张人身损害赔偿

如果交通事故中存在明确的侵权方（如其他车辆驾驶员），家属还可以向该侵权方主张人身损害赔偿。赔偿范围通常包括医疗费（如果事故发生后进行了紧急救治）、丧葬费、死亡赔偿金等。死亡赔偿金的计算通常依据受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。

四、要求劳务派遣或用工单位承担相应赔偿责任

如果劳务派遣单位或用工单位在事故中存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），家属也有权要求其承担相应的赔偿责任。这部分赔偿可能需要根据具体过错程度和造成的损失来协商确定。

五、注意事项与建议

1. 保留证据：在整个过程中，家属应妥善保留所有相关证据，包括事故责任认定书、劳动合同、工资单、医疗记录等，以便在主张赔偿时提供有力支持。
2. 及时咨询专业律师：由于赔偿流程和计算标准较为复杂，建议家属在必要时咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保障。
3. 关注时效：注意各类赔偿主张的时效限制，避免因超过时效而丧失主张权利的机会。

综上所述，劳务派遣的员工外出工作发生交通事故死亡后，家属可以通过确定事故责任、申请工伤认定、向侵权方主张人身损害赔偿以及要求劳务派遣或用工单位承担相应赔偿责任等途径来维护自身权益。希望这些解答能对您有所帮助。