针对您提出的问题，即私人老板请临时工，临时工自己操作不当手指断了，老板是否有责任，以及介绍人要付什么责任，我将从以下几个方面进行详细分析：
老板的责任：
- 劳动关系认定：首先，需要明确的是，即使临时工与老板之间没有签订正式的劳动合同，但如果临时工为老板提供了劳动，并接受了老板的管理和指挥，那么双方之间很可能已经形成了事实上的劳动关系。
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在此情况下，临时工在操作过程中手指断了，如果符合工伤认定的条件，那么老板作为用人单位，应当承担相应的工伤赔偿责任。
- 赔偿责任：老板需要承担的赔偿责任包括但不限于医疗费、护理费、误工费、残疾赔偿金等。具体赔偿金额需要根据临时工的伤残程度、工资收入以及当地的相关规定来确定。
介绍人的责任：
- 一般情况：在大多数情况下，介绍人只是起到了一个牵线搭桥的作用，并没有直接参与到临时工与老板之间的劳动关系中。因此，介绍人通常不需要对临时工的工伤事故承担责任。
- 特殊情况：然而，如果介绍人在介绍过程中存在过错，比如故意隐瞒了临时工的工作风险或者老板的不良记录等，导致临时工在不知情的情况下接受了工作并发生了工伤事故，那么介绍人可能需要承担一定的过错责任。但这种情况相对较少见，且需要具体证据来支持。
综上所述，老板在此情况下很可能需要承担工伤赔偿责任，而介绍人则通常不需要承担责任，除非存在特殊情况。
法律建议：
- 对于临时工而言，如果发生了工伤事故，应当及时向老板提出工伤认定申请，并保留好相关证据以便后续维权。
- 对于老板而言，应当加强安全管理，确保工作场所的安全条件符合规定，以减少工伤事故的发生。同时，在发生工伤事故后，应当积极履行赔偿责任，避免引发更大的法律纠纷。
- 对于介绍人而言，在介绍工作时应当尽到合理的注意义务，确保所介绍的工作符合法律法规的要求，并避免因自己的过错而引发不必要的法律责任。
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