结论：给私人打工手指头断了，在符合一定条件下，是可以要求对方赔偿的。下面我将从多个角度为你详细分析。

一、法律关系认定

给私人打工，通常形成的是雇佣关系（在法律上更准确的表述可能是劳务关系，与劳动关系有所区别）。在劳务关系中，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。

二、赔偿条件

1. 存在过错
   • 如果雇主（即接受劳务的一方）存在过错，比如没有提供安全的工作环境、没有提供必要的安全防护设备、没有对雇员进行必要的安全培训等，导致雇员手指头断了，那么雇主应当承担相应的赔偿责任。
   • 例如，雇主让雇员在没有佩戴安全帽、手套等防护用具的情况下，从事有潜在危险的手工操作工作，结果雇员手指受伤，这种情况下雇主存在明显过错。
   • 如果雇员自身也存在过错，比如自己操作不当、违反安全规定等，那么雇员也需要承担一定的责任，此时会按照双方的过错程度来分担损失。比如雇员明知操作规范却故意违反，导致手指受伤，那么雇员自身可能要承担 30% - 50%的责任（具体比例根据实际情况判定），雇主承担剩余部分责任。
2. 因果关系
   • 雇员手指头断了与提供的劳务之间需要存在因果关系。也就是说，手指受伤是在从事雇主安排的工作过程中发生的。
   • 例如，雇员在按照雇主要求搬运重物时，不慎被重物砸到手指导致受伤，这就存在明显的因果关系。但如果雇员是在工作间隙，自己去做与工作无关的事情（比如玩手机时不小心撞到门导致手指受伤），这种情况下就很难认定与劳务有因果关系，雇主可能无需承担赔偿责任。

三、赔偿范围

如果符合上述赔偿条件，雇主需要赔偿的范围通常包括：

1. 医疗费：包括治疗手指受伤所花费的挂号费、检查费、药费、住院费等实际支出费用。计算公式为：医疗费 = 实际发生的合理医疗费用总和。例如，挂号费 20 元、检查费 300 元、药费 500 元、住院费 2000 元，那么医疗费总计就是 20 + 300 + 500 + 2000 = 2820 元。
2. 误工费：根据雇员的误工时间和收入状况确定。误工时间根据受害人接受治疗的医疗机构出具的证明确定。受害人有固定收入的，误工费按照实际减少的收入计算；无固定收入的，按照其最近三年的平均收入计算；受害人不能举证证明其最近三年的平均收入状况的，可以参照受诉法院所在地相同或者相近行业上一年度职工的平均工资计算。计算公式为：误工费 = 误工时间 × 收入状况。比如雇员每月收入 5000 元，因手指受伤误工 2 个月，那么误工费就是 5000×2 = 10000 元。
3. 护理费：如果雇员手指受伤后需要护理，根据护理人员的收入状况和护理人数、护理期限确定。护理人员有收入的，参照误工费的规定计算；护理人员没有收入或者雇佣护工的，参照当地护工从事同等级别护理的劳务报酬标准计算。计算公式为：护理费 = 护理天数 × 护理级别对应的报酬标准。例如，当地护工每天报酬 200 元，雇员需要护理 15 天，那么护理费就是 200×15 = 3000 元。
4. 交通费：根据受害人及其必要的陪护人员因就医或者转院治疗实际发生的费用计算。交通费应当以正式票据为凭；有关凭据应当与就医地点、时间、人数、次数相符合。比如雇员就医打车花费 200 元，有正规票据，这部分费用就可以要求赔偿。
5. 营养费：根据受害人伤残情况参照医疗机构的意见确定。一般每天的营养费标准在 30 - 50 元左右（具体根据当地情况），假设医疗机构建议营养期为 30 天，那么营养费就是 30×30 = 900 元（按每天 30 元计算）。
6. 残疾赔偿金（如果构成残疾）：如果手指受伤经鉴定构成残疾，根据受害人丧失劳动能力程度或者伤残等级，按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，自定残之日起按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。计算公式为：残疾赔偿金 = 受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准 × 伤残系数 × 赔偿年限。例如，受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入为 50000 元，雇员构成十级伤残（伤残系数为 10%），年龄 40 岁，那么残疾赔偿金就是 50000×10%×20 = 100000 元。

四、维权途径

如果与雇主协商赔偿事宜无法达成一致，你可以通过以下途径维权：

1. 向当地劳动保障监察部门投诉：虽然你们之间是劳务关系，但劳动保障监察部门在某些情况下也可以协助调解纠纷。
2. 向人民法院提起诉讼：准备好相关证据，如工作证明、受伤情况证明、医疗费用票据等，向法院起诉雇主，要求其承担赔偿责任。

如果你还有其他疑问或者需要进一步的帮助，随时都可以向我咨询，我会为你提供更详细的法律解答。