在私人企业打工手指断了，赔偿问题需根据具体情况来分析，以下是详细说明：

1. 确认是否构成工伤

   • 构成工伤的情况：如果是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害导致手指断了，一般应认定为工伤。根据《工伤保险条例》，职工因工作遭受事故伤害进行治疗，享受工伤医疗待遇。赔偿项目包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费等。如果经劳动能力鉴定构成伤残等级，还有一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。例如，小李在工厂操作机器时，因机器故障导致手指被切断，这种情况就属于工伤，可按照上述项目获得相应赔偿。
   • 不构成工伤的情况：如果手指断了并非因工作原因导致，比如在下班后与同事打闹受伤，或者自身故意造成伤害等，一般不认定为工伤，此时企业可能无需承担工伤赔偿责任，但可能需要根据具体情况承担一定的人道主义补偿或其他责任。

2. 企业未缴纳工伤保险的情况

   • 如果企业没有为职工缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》第六十二条规定，应当参加工伤保险而未参加工伤保险的用人单位职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。也就是说，即使企业没有缴纳工伤保险，职工依然可以享受工伤待遇，只不过所有费用都由企业承担。比如，小张所在的企业没有给他缴纳工伤保险，小张在工作中手指断了，那么企业就需要按照工伤待遇的标准向小张支付各项赔偿费用。

3. 赔偿流程

   • 申请工伤认定：职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 劳动能力鉴定：职工发生工伤，经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。
   • 协商赔偿或申请仲裁：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，职工可以与企业协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

如果遇到在私人企业打工手指断了的情况，建议先收集相关证据，如事故现场照片、医疗记录、证人证言等，然后按照上述流程维护自己的合法权益。要是还有其他疑问，可以直接向我咨询。