当您与用人单位已经连续签订了三次固定期限劳动合同，且在第三次合同期满时单位选择不续签，这确实是一个涉及到您权益的重要问题。以下是我为您详细分析的应对策略和法律依据：
一、法律依据与权益分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，特别是第十四条第二款，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有违反法律规定的特定情形（如严重失职、违反规章制度等）时，续订劳动合同的，除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。这一规定体现了法律对劳动者长期稳定就业的保护。
对于您已经连续签订三次固定期限劳动合同的情况，虽然法律没有直接规定必须签订无固定期限劳动合同的次数上限，但基于上述条款的立法精神，您有权要求用人单位签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么用人单位的行为可能构成违法终止劳动合同。
二、单位不续签的后果
违法终止劳动合同：如果用人单位在第三次劳动合同到期后拒绝续签，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么用人单位的行为可能构成违法终止劳动合同。
支付赔偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。这意味着，如果用人单位违法终止劳动合同，您有权要求用人单位按照您在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准向您支付赔偿金。
三、应对措施
与单位协商：首先，我建议您尝试与用人单位进行协商，表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位不续签的具体原因。通过沟通，有时可以达成双方都能接受的解决方案。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提供相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明您的劳动关系存在、工作年限以及单位不续签的事实。仲裁委员会将依法进行裁决，保护您的合法权益。
提起诉讼：如果您对仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出公正判决。在诉讼过程中，您同样需要提供充分的证据来支持您的主张。
四、注意事项
保留证据：在整个过程中，您务必注意保留相关证据。这些证据将有助于您在申请仲裁或提起诉讼时证明自己的权益。
及时维权：根据法律规定，您应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提起劳动仲裁或诉讼。因此，请务必及时采取行动，以免超过时效期间而丧失胜诉权。
综上所述，当您面临单位在第三次劳动合同期满时拒绝续签的情况时，您有权要求签订无固定期限劳动合同或获得相应的经济补偿。我建议您首先与单位进行协商，如果协商无果，则及时申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的合法权益。