结论前置：公司若想在辞退员工时不支付经济补偿，必须确保辞退行为严格符合《中华人民共和国劳动合同法》中规定的特定情形，并且有充分的证据支持。否则，公司可能需要承担违法解除劳动合同的法律责任，包括支付经济补偿或赔偿金。
具体情形及法律解释：
试用期间不符合录用条件：
- 公司需明确录用条件，并在试用期内对员工进行客观考核。若员工未达到录用条件，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。但关键在于，公司必须有明确的录用条件，并且这些条件已经向员工公示或告知，同时保留了考核记录作为证据。
严重违反公司规章制度：
- 公司的规章制度必须合法、合理，且经过民主程序制定，并向员工公示。若员工的行为严重违反了这些规章制度，公司可以解除劳动合同。但“严重违反”需要达到一定的程度，如多次违纪、造成重大损失等，并且公司需要有充分的证据证明员工的违规行为。
严重失职，营私舞弊，给公司造成重大损害：
- 公司需要明确“重大损害”的标准，并在规章制度中规定。若员工存在严重失职或营私舞弊行为，且这些行为与重大损害有直接的因果关系，公司可以解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司巨额款项无法追回，公司可以据此解除劳动合同且无需支付经济补偿。
与其他公司建立劳动关系，严重影响本单位工作：
- 若员工同时与其他公司建立劳动关系，且这种关系严重影响到了本单位的工作任务完成，公司可以直接解除劳动合同。即使未造成严重影响，若员工拒不改正兼职行为，公司也有权解除劳动合同。
劳动合同无效：
- 若劳动合同是以欺诈、胁迫等手段使对方在违背真实意思的情况下订立的，该劳动合同无效。例如，员工提供虚假信息骗取公司签订劳动合同，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。
被依法追究刑事责任：
- 当员工被人民法院判处刑罚时，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。
法律建议及注意事项：
- 证据保留：公司在解除劳动合同时，必须确保有充分的证据支持其决定。这些证据可以包括考核记录、监控录像、书面警告、员工签字确认的规章制度等。
- 法定程序：公司应遵循法定的解雇程序，如提前通知员工、听取员工的陈述和申辩等。若未遵循法定程序，即使符合上述特定情形，公司也可能需要支付经济补偿或赔偿金。
- 经济补偿的支付：除上述特定情形外，公司在解除劳动合同时通常需要按照法律规定或合同约定给予员工相应的经济补偿。经济补偿的计算通常基于员工在公司的工作年限和月工资水平。
可能法律后果：
若公司无法证明其辞退行为符合上述特定情形，或者未遵循法定程序，员工有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿的两倍。
总结与建议：
作为公司，应尊重员工的权益，遵守相关法律法规。在解除劳动合同时，必须有合法的依据，并按照规定给予员工相应的经济补偿（除非符合无需支付的特定情形）。若公司对辞退员工有疑问或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。