结论：生病期间能否与单位签合同，需分情况讨论。在医疗期内，单位可以与劳动者协商续签劳动合同，且在特定情况下有续签合同的义务；医疗期满后，单位则需根据劳动者的身体状况和工作能力来决定是否续签或解除劳动合同。
一、医疗期内劳动合同的处理
可以续签：
- 法律并未禁止用人单位在劳动者医疗期内续签劳动合同。只要双方自愿、平等协商并达成一致意见，医疗期内续签劳动合同是合法有效的。例如，若劳动者在医疗期内表现优秀，或者单位出于对劳动者的关怀与信任，双方可沟通并续签合同。
应当续签：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满时，如果劳动者患病或者非因工负伤且处于规定的医疗期内，劳动合同应当续延至医疗期结束时终止。这意味着，即使劳动合同到期，单位也不能立即终止合同，而必须续延至医疗期结束，以保障劳动者的合法权益。
不得解除劳动合同：
- 在医疗期内，除非双方协商一致，否则单位不得无故解除劳动合同。这是为了保护劳动者在生病期间的权益，避免其因生病而失去工作。
二、医疗期满后劳动合同的处理
劳动能力鉴定：
- 医疗期结束后，若劳动者仍不能从事原工作，单位应启动劳动能力鉴定程序。根据鉴定结果，若劳动者能胜任原岗位或其他岗位，单位应续签劳动合同；若不能胜任，单位则需考虑解除劳动合同或调整工作岗位。
续签或解除：
- 若双方能就续订合同达成协议，可依规定续订合同。若劳动者无法胜任工作且双方无法达成协议，单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，但需依法支付经济补偿。经济补偿的具体数额应根据法律规定和劳动者的工龄等因素确定。
三、续签合同的注意事项
协商一致：
- 无论是医疗期内还是医疗期满后，续签劳动合同都必须双方协商一致，不能单方面强制续签。这是劳动合同签订的基本原则，也是保障双方权益的重要前提。
合法合规：
- 续签合同时，单位应确保合同内容符合法律法规的规定，不得损害劳动者的合法权益。例如，合同中的条款应明确、公平，且不违反相关法律法规，如工作时间、工资待遇、社会保险等。
经济补偿：
- 如果单位不续签劳动合同，且不属于劳动者过错或法定不续签情形（如医疗期满且劳动者不能胜任工作），单位应向劳动者支付经济补偿。这是法律对劳动者的一种保护，也是单位应尽的社会责任。
建议：在生病期间与单位签订或续签劳动合同时，劳动者应充分了解自己的权益和义务，与单位进行充分沟通并达成一致意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。