结论：根据您描述的情况，员工在连续签订5次固定期限劳动合同后，有权要求公司签订无固定期限劳动合同。若公司拒绝签订，可能面临一定的法律后果。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

1. 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
2. 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的（此处虽未直接提及五次，但法律原则在于保护劳动者权益，避免用人单位通过频繁签订固定期限合同规避无固定期限合同的签订，实践中连续签订多次固定期限合同后，劳动者要求签订无固定期限合同的，通常也会得到支持）。

二、法律分析

1. 员工权利：在您描述的情况下，员工已经连续签订了5次固定期限劳动合同，这明显超出了法律规定的“连续订立二次固定期限劳动合同”的界限。因此，员工有权要求公司签订无固定期限劳动合同。

2. 公司义务：公司作为用人单位，应当遵守法律法规，尊重劳动者的合法权益。在员工提出签订无固定期限劳动合同的要求时，公司应当予以满足，除非存在法律规定的例外情形（如劳动者存在严重违反公司规章制度等行为）。

3. 法律后果：如果公司拒绝签订无固定期限劳动合同，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任。这可能包括支付经济补偿金、继续履行劳动合同等。

三、建议与行动

1. 与公司协商：首先，建议员工与公司进行友好协商，明确表达自己的诉求和依据，争取达成共识并签订无固定期限劳动合同。

2. 准备证据材料：如果协商无果，员工应准备相关证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明自己已经连续签订了多次固定期限劳动合同，并符合签订无固定期限劳动合同的条件。

3. 申请劳动仲裁：在准备好证据材料后，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同或承担相应的法律责任。

4. 寻求法律援助：在整个过程中，如果员工感到困惑或无助，可以寻求专业律师的法律援助和指导，以确保自己的权益得到充分保护。

四、注意事项

• 在整个过程中，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击公司代表。
• 员工应密切关注劳动争议仲裁委员会的通知和要求，及时提供相关证据材料并参加仲裁活动。
• 如果员工对仲裁结果不满意或认为仲裁程序存在违法行为，可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。

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